【解析分类汇编系列五：北京2013高三（一模）文数】14：导数
1．（2013届北京海淀一模文）已知曲线f(x)?lnx在点(x0,f(x0))处的切线经过点(0,?1),
则x0的值为（ ）
1A．e
B
函数的导数为f'(x)?B．1
C．e D．10
11，所以切线斜率为k?f'(x，所以切线方程为)?0x0xy?lnx0?1x(x?x0)??1，因为切线过点(0,1)，所以代入切线方程得lnx0?2，解x0x0得x0?e2，选B.
2．（2013届北京市延庆县一模数学文）已知函数f(x)??2alnx?212x?ax(a?R). 2(Ⅰ)当a?1时,求曲线y?f(x)在点(1,f(1))的切线方程; (Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性.
2a2解:函数f(x)的定义域为(0,??),f?(x)???x?a
x3,f?(1)??2?1?1?0, 23所以曲线y?f(x)在点(1,f(1))的切线方程为y?
2(Ⅰ) 当a?1时,f(1)?x2?ax?2a2(x?2a)(x?a)(Ⅱ)f?(x)?, ?xx(1)当a?0时,f?(x)?x?0,f(x)在定义域为(0,??)上单调递增, (2)当a?0时,令f?(x)?0,得x1??2a(舍去),x2?a, 当x变化时,f?(x),f(x)的变化情况如下:
此时,f(x)在区间(0,a)单调递减,在区间(a,??)上单调递增; (3)当a?0时,令f?(x)?0,得x1??2a,x2?a(舍去), 当x变化时,f?(x),f(x)的变化情况如下:
此时,f(x)在区间(0,?2a)单调递减,在区间(?2a,??)上单调递增
3．（2013届北京东城区一模数学文科）已知函数f(x)?mlnx?(m?1)x (m?R).
(Ⅰ)当m?2时,求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)讨论f(x)的单调性;
(III)若f(x)存在最大值M,且M?0,求m的取值范围.
解:(Ⅰ)当m?2时,f(x)?2lnx?x.
f?(x)?2x?2. ?1?xx所以f?(1)?3. 又f(1)?1,
所以曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是y?1?3(x?1), 即3x?y?2?0.
(Ⅱ)函数f(x)的定义域为(0,??),
m(m?1)x?m. ?m?1?xxm当m≤0时,由x?0知f?(x)??m?1?0恒成立,
xf?(x)?
此时f(x)在区间(0,??)上单调递减. 当m≥1时,由x?0知f?(x)?m?m?1?0恒成立, x此时f(x)在区间(0,??)上单调递增.
mm,由f?(x)?0,得x?, 1?m1?mmm此时f(x)在区间(0,)内单调递增,在区间(,??)内单调递减.
1?m1?m当0?m?1时,由f?(x)?0,得x?(III)由(Ⅱ)知函数f(x)的定义域为(0,??),
当m≤0或m≥1时,f(x)在区间(0,??)上单调,此时函数f(x)无最大值. 当0?m?1时,f(x)在区间(0,mm)内单调递增,在区间(,??)内单调递减, 1?m1?m所以当0?m?1时函数f(x)有最大值.
mm)?mln?m. 1?m1?mme因为M?0,所以有mln. ?m?0,解之得m?1?m1?ee所以m的取值范围是(,1).
1?e最大值M?f(
4．（2013届北京丰台区一模文科）已知函数f(x)?'12,g(x)?bx?3x. x?a(1)设函数h(x)?f(x)?g(x),且h(1)?h(1)?0求a,b的值; (2)当a=2且b=4时,求函数?(x)?g(x)的单调区间,并求该函数在区间(-2,m] f(x)(?2?m?1)上的最大值. 4解:(Ⅰ)函数h(x)定义域为{x|x≠-a}, 则h?(x)?f?(x)?g?(x)??1?2bx?3, 2(x?a)?1?b?3?0,4??a??,?h(1)?0,?a?0,?1?a?因为?所以?解得,?或?3
?h?(1)?0.?b??2,?b??6.??12?2b?3?0.???(1?a)
(Ⅱ)记?(x)=
g(x)2
,则?(x)=(x+a)(bx+3x)(x≠-a) , f(x)?因为a=2,b=4,所以?(x)?(x?2)(4x2?3x)(x≠-2),
??(x)?12x2?22x?6?2(2x?3)(3x?1),
令??(x)?0,得x??当x??31,或x??, 233131,或x??时,??(x)?0,当??x??时,??(x)?0, 232331?函数?(x)的单调递增区间为(??,?2),(?2,?),(?,??),
2331单调递减区间为(?,?),
233①当-2 2?其最大值为?(m)= 4m3?11m2?6m, 31331≤m≤时,?(x)在(-2,?)上单调递增,在(?,-)上单调递减,在242231319(?,m)上单调递增,而?(?)=?()=, 32449??(x)的最大值为 4②当?5．（2013届北京市朝阳区一模数学文）（本小题满分13分） 已知函数f(x)?x?(a?2)x?alnx，其中a?R． （Ⅰ）若曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切线的斜率为1，求a的值； （Ⅱ）求函数f(x)的单调区间. 2解：(Ⅰ)由f(x)?x?(a?2)x?alnx可知，函数定义域为xx?0， 2??且f?(x)?2x?(a?2)?aa.由题意，f?(2)?4?(a?2)??1， x2解得a?2.……………………………………………………………………………4分 a(2x?a)(x?1)(x?0). ?xxa 令f?(x)?0，得x1?1，x2?. 2a（1）当a?0时，?0，令f?(x)?0，得x?1;令f?(x)?0，得0?x?1. 2（Ⅱ）f?(x)?2x?(a?2)? 则函数f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,??). aa?1，即0?a?2时，令f?(x)?0，得0?x?或x?1. 22a则函数f(x)的单调递增区间为(0,)，(1,??). 2a令f?(x)?0，得?x?1. 2a则函数f(x)的单调递减区间为(,1). 2a（3）当?1，即a?2时，f?(x)?0恒成立，则函数f(x)的单调递增区间为(0,??). 2aa（4）当?1，即a?2时，令f?(x)?0，得0?x?1或x?， 22a则函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，(,??). 2a令f?(x)?0，得1?x?. 2a则函数f(x)的单调递减区间为(1,). ……………………………………13分 2（2）当0?6 ．（2013届北京市石景山区一模数学文）（本小题满分14分） 已知函数f(x)?ax?1?lnx,a?R. （Ⅰ）讨论函数f(x)的单调区间； （Ⅱ）若函数f(x)在x?1处取得极值，对?x?(0,??),f(x)?bx?2恒成立，求实数b的取值范围. 解：（Ⅰ）在区间?0,???上,f?(x)?a??x ①若a?0,则 1ax?1. ……………………1分 xf?(x)?0,f(x)是区间?0,???上的减函数； ……………3分 ②若a?0,令f?(x)?0得x?1. a在区间(0,)上, 1af?(x)?0,函数f(x)是减函数; ,函数f(x)是增函数; 在区间(,??)上, 1af?(x)?0综上所述，①当a?0时,f(x)的递减区间是?0,???，无递增区间；