第 8 章
8-1 目前可获得的极限真空为1.33?10?11Pa，求此真空度下1cm3体积内有多少个分子?(设温度为27℃)
[解] 由理想气体状态方程P?nkT
得 P?NVkT，N??11PVkT
?6故 N?1.33?10?1?10?3001.38?10?23?3.21?10
3
8-2 使一定质量的理想气体的状态按p?V图中的曲线沿箭头所示的方向发生变化，图线的BC段是以横轴和纵轴为渐近线的双曲线。
(1)已知气体在状态A时的温度是TA?300K，求气体在B、C、D时的温度。 (2)将上述状态变化过程在 V?T图(T为横轴)中画出来，并标出状态变化的方向。 [解] (1)由理想气体状态方程PV/T＝恒量，可得：由A→B这一等压过程中
VATAVBVA?VBTB2010
则 TB??TA??300?600K
因BC段为等轴双曲线，所以B→C为等温过程，则
TC?TB?600 K
C→D为等压过程，则
VDTD?VCTC
TD?VDVC?TC?2040?600?300K
(2)
v(l)40302010ADCB 0T(K)300600
8-3 有容积为V的容器，中间用隔板分成体积相等的两部分，两部分分别装有质量为m的分子N1 和N2个, 它们的方均根速率都是?0，求： (1)两部分的分子数密度和压强各是多少?
(2)取出隔板平衡后最终的分子数密度和压强是多少?
8-1
[解] (1) 分子数密度 n1?由压强公式：P?132N1V1?2N1Vn2?N2V2?2N2V
nmV，
132mN1V03VNV?2可得两部分气体的压强为 P1?2n1mV0?P2?132n2mV0?2mN2V03V2
(2) 取出隔板达到平衡后，气体分子数密度为 n?N1?N2V
混合后的气体，由于温度和摩尔质量不变，所以方均根速率不变，于是压强为：
P?132nmV0?(N1?N2)mV03V2
15?78-4 在容积为2.5?10?3m3的容器中，储有1?1015个氧分子，4?10个氮分子，3.3?10g氢分子混合气体，试求混合气体在433K时的压强。
[解] 由 P?nkT
n?N1?N2?N3V3.3?102?7
23N3??6.02?10
则 P?
N1?N2?N3VkT?0.25Pa
8-5 有2?10?3m3刚性双原子理想气体，其内能为6.75?102J。 (1)试求气体的压强。
(2)设有5.4?1022个分子，求分子的平均平动动能及气体，温度。 [解] (1)理想气体的内能 E?N?i2kT (1) NVkT (2)
5压强 P?nkT?由(1)、(2)两式可得 P?(2) 由 E?N?又 w?
32kT?i2322E5V?1.35?10 Pa
2E5kN?362K
?21kT 则 T??1.38?10?23?362?7.5?10 J
8-6 一容积为10cm3的电子管，当温度为300K时，用真空泵把管内空气抽成压强为
8-2
5?10?6mmHg的真空，问此时管内有多少个空气分子?这些分子的总平动动能是多少?总转
动动能是多少?总动能是多少?
[解] 由理想气体状态方程 P?PVkT5?10?6NV5kT 得
?6N???1.013?10?10?10?300760?1.38?10?23?1.61?10i23212
一个理想气体分子的平均平动动能为： e1?所以总的平均动能为：
E1?N32kT?PVkT?32kT?32PV?35?102?6kT?kT
?1.013?107605?1.0?10?6?1?10?8 J
将空气中的分子看成是由双原子刚性分子组成，而每一个双原子分子的平均转动动能为
e2?r2kT?22kT?kT
所以总的转动动能为：
E2?Ne2?PVkTkT?PV?5?10?6?1.013?107605?10?10?6?0.667?10?8 J
总动能Ek?E1?E2?1.667?10?8 J
8-7 某些恒星的温度可达108K的数量级，在这温度下原子已不存在，只有质子存在。试求：(1)质子的平均动能是多少电子伏?(2)质子的方均根速率是多少?
[解] 质子只有3个平动自由度，所以其平均动能也就是它的平均平动动能
E?32kT?32?1.38?10?23?108/1.602?10?19?1.29?10eV
4质子的方均根速率为：
?2p?3kTmp?3?1.38?10?23?1081.673?10?27?1.58?106ms
8-8 容器内某理想气体的温度T?273K，压强P?1.00?10?3atm,密度为1.25g/m3,求： (1)气体分子的方均根速率； (2)气体的摩尔质量，是何种气体? (3)气体分子的平均平动动能和转动动能； (4)单位体积内气体分子的总平动动能；
(5)气体的内能。设该气体有0.3mol。 [解] (1) 由P?nkT 得 n?所以 m??n?PkT
?kTP
8-3
所以
?2?3kTm?3kT?kT?P?3P??3?1.00?10?3?1.013?10?3?31.25?10?493ms
(2) 气体的摩尔质量 Mmol?N0m?N0?kTp
?6.02?1023?1.25?10?3?1.38?10?3?23?27351.00?10?1.013?10?0.028kgmol
所以该气体是N2或CO (3) 气体分子的平均平动动能
??32kT?32?1.38?10?23?273?5.65?10?21J
气体分子的转动动能
?2?22kT?1.38?10?23?273?3.77?10?21J
(4) 单位体积内气体分子的总平动动能
E?n?1?pkT?32kT?32p?32?1.00?10?3?1.013?105?1.52?102Jm3
(5) 该气体的内能
E?0.3Emol?0.3?i2RT?0.3?52?8.31?273?1.701?10J
3
8-9 容积为10?10?3m3的容器以速率200ms匀速运动,容器中充有质量为50g，温度为18℃的氢气。设容器突然静止，全部定向运动的动能都转变为气体热运动的动能，若容器与外界没有热交换，达到平衡时氢气的温度增加了多少?压强增加了多少?氢分子视为刚性分子。
[解] 由能量守恒定律知
MMmol12Mv2??Ek
又因 ?Ek?i2RT?MMmol52RT
所以 ?T?NVMmol5Rv?2mv5k2?3.35?10?27?4?10?2345?1.38?10?1.9K
由 p?kT
?p?NVk??T?Mk?TmV?50?10?3?1.38?10?27?23?1.9?33.35?10?10?10?3.95?10Pa
4
8-4
8-10 一摩尔水蒸气分解成同温度的氢气和氧气，内能增加了百分之几(不计振动自由度)?
[解] 由水的分解方程知，1mol水蒸气分解为1mol氢气和1mol水蒸气的内能 E1?1mol氢气的内能 E2?12625212RT?3RT RT ?52RT?54RT
12mol氧气。设温度为T，
mol氧气的内能 E3?所以 ?E?E2?E3?E1?所以内能增加的百分比为
34RT
?EE1?100%?25%
8-11 求速度与最概然速率之差不超过最概然速率1%的分子数占分子总数的百分比。
[解] 根据题意，由麦克斯韦分布定律
?NN?4?m???2kT???322e?mv2kTv?v
2又 vp?2kTm4
?v?????v?p??2所以
?NN??vp?3ev?v?24?v????vp??e??2?v?????v?p??2?vvp
vp??vp???????0.02vp ?vp?在vp附近，v?vp ?v??vp???100??100????NN?4??e?1?0.02?1.66%
8-12 速率分布函数的物理意义是什么?试说明下列各量的意义：
(1) f(v)dv；(2) Nf(v)dv；(3)
???21f(v)dv；(4)??2?1Nf(v)dv；(5)??2?1vf(v)dv。
[答] f(v)表示在热力学温度T时，处于平衡状态的给定气体中，单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比。
(1) f(v)dv表示某分子的速率在v~v+dv间隔内的概率；或者说速率在v~v+dv间隔内的分子数占总分子数的百分比；
(2) Nf(v)dv表示分子速率在v~v+dv间隔内的分子数；
(3)
???21f(v)dv表示分子速率在v1~v2间隔内的概率，或者说该分子速率在v1~v2间隔内
的分子数占总分子数的百分比；
8-5