人教A版2018学年高中数学选修练习含答案
[课时作业] [A组 基础巩固]
1．用数学归纳法证明当n∈N＋时，1＋2＋22＋?＋25n－1是31的倍数时， 当n＝1时原式为( ) A．1 C．1＋2＋3＋4
B．1＋2
D．1＋2＋22＋23＋24
解析：左边＝1＋2＋22＋?＋25n－1，所以n＝1时，应为1＋2＋?＋25×1－1＝ 1＋2＋22＋23＋24. 答案：D
2．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋( ) πA.2 C．2π 答案：B
3．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N＋，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为( ) A．30 C．36
B．26 D．6 B．π 3
D．2π
解析：f(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36，易知f(n)能被36整除，且36为m的最大值． 答案：C
4．某同学回答“用数学归纳法证明n2＋n (2)假设n＝k时有k?k＋1? 1 人教A版2018学年高中数学选修练习含答案 D．当n＝1时，验证过程不具体 解析：证明?k＋1?2＋?k＋1?<(k＋1)＋1时进行了一般意义的放大．而没有使用归纳假设k?k＋1? 5．用数学归纳法证明： 111 1－2＋3－4＋?＋ 11111－2n＝＋＋?＋2n(n∈N＋)， 2n－1n＋1n＋2 则从n＝k到n＝k＋1时，左边所要添加的项是( ) 1 A. 2k＋11 C．－ 2k＋1 B． 11－ 2k＋22k＋411－ 2k＋12k＋2 D． 11111 解析：∵当n＝k时，左边＝1－2＋3－4＋?＋－， 2k－12k 1111111 当n＝k＋1时，左边＝1－2＋3－4＋?＋－2k＋－， 2k－12k＋12k＋211 ∴由n＝k到n＝k＋1左边增加了－. 2k＋12k＋2答案：D n?n＋1??2n＋1? 6．用数学归纳法证明2＋3＋?＋n＝－1(n∈N＋，n>1)时，第一 6 2 2 2 步应验证n＝________时，命题成立，当n＝k＋1时左边的式子为________． 解析：由于n>1， ∴第一步应验证n＝2时，命题成立， 当n＝k＋1时，左边的式子应为22＋32＋?＋k2＋(k＋1)2. 答案：2 22＋32＋?＋k2＋(k＋1)2 7．用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的第二步中，当n＝k＋1时，为了使用归纳假设应将5k＋1－2k＋1变形为________． 解析：假设当n＝k时，5k－2k能被3整除， 则n＝k＋1时，5k＋1－2k＋1＝5(5k－2k)＋3·2k 由假设知5k－2k能被3整除，3·2k能被3整除． 故5·(5k－2k)＋3·2k能被3整除． 2 人教A版2018学年高中数学选修练习含答案 答案：5·(5k－2k)＋3·2k 8．设平面内有n条直线(n≥2)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝________；当n>4时，f(n)＝________(用n表示)． 解析：f(2)＝0，f(3)＝2，f(4)＝5，f(5)＝9，每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数． 所以f(3)－f(2)＝2，f(4)－f(3)＝3，f(5)－f(4)＝4，?， f(n)－f(n－1)＝n－1.累加，得f(n)－f(2)＝2＋3＋4＋?＋(n－1)＝ 2＋?n－1? (n－2)． 21 所以f(n)＝2(n＋1)(n－2)． 1 答案：5 2(n＋1)(n－2) 9．用数学归纳法证明：1＋4＋7＋?＋(3n－2) 1 ＝2n(3n－1)(n∈N＋)． 证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1， ∴当n＝1时命题成立． (2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时命题成立， 1 即1＋4＋7＋?＋(3k－2)＝2k(3k－1)． 当n＝k＋1时，1＋4＋7＋?＋(3k－2)＋[3(k＋1)－2] 1 ＝2k(3k－1)＋(3k＋1) 11 ＝2(3k2＋5k＋2)＝2(k＋1)(3k＋2) 1 ＝2(k＋1)[3(k＋1)－1] 即当n＝k＋1时命题成立． 综上(1)(2)知，对于任意n∈N＋原命题成立． 10．证明对任意正整数n,34n＋2＋52n＋1能被14整除． 证明：(1)当n＝1时，34n＋2＋52n＋1＝36＋53＝854＝14×61能被14整除，命题成 3 人教A版2018学年高中数学选修练习含答案 立． (2)假设当n＝k时命题成立，即34k＋2＋52k＋1能被14整除， 那么当n＝k＋1时， 34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝34k＋2×34＋52k＋1×52 ＝34k＋2×34＋52k＋1×34－52k＋1×34＋52k＋1×52 ＝34(34k＋2＋52k＋1)－52k＋1(34－52) ＝34(34k＋2＋52k＋1)－56×52k＋1， 因34k＋2＋52k＋1能被14整除，56也能被14整除，所以34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1能被14整除，故命题成立． 由(1)(2)知，命题对任意正整数n都成立． [B组 能力提升] 1．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋?＋2n－1＝2n－1(n∈N*)”的过程中，第二步假设n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到( ) A．1＋2＋22＋?＋2k－2＋2k＋1＝2k＋1－1 B．1＋2＋22＋?＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1 C．1＋2＋22＋?＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1 D．1＋2＋22＋?＋2k－1＋2k＝2k＋1－1 解析：由条件知，左边是从20,21一直到2n－1都是连续的，因此当n＝k＋1时，左边应为1＋2＋22＋?＋2k－1＋2k，而右边应为2k＋1－1. 答案：D 2．k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱的对角面个数f(k＋1)为( ) A．f(k)＋k＋1 C．f(k)＋k－1 B．f(k)＋k D．f(k)＋k－2 解析：当k棱柱变为k＋1棱柱时，新增的一条棱与和它不相邻的k－1条棱确定k－2个对角面，而原来的一个侧面变为对角面，所以共增加k－1个对角面． 答案：C 2n?2n＋1? 3．用数学归纳法证明12＋22＋?＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋?＋22＋12＝ 3 时，由n＝k的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是________． 4 人教A版2018学年高中数学选修练习含答案 k?2k2＋1? 解析：n＝k时等式为1＋2＋?＋(k－1)＋k＋(k－1)＋?＋2＋1＝， 3 2 2 2 2 2 2 2 n＝k＋1时等式为12＋22＋?＋(k－1)2＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋?＋22＋12＝?k＋1?[2?k＋1?2＋1] . 3 ∴n＝k＋1时等式左边比n＝k时等式左边增加了k2＋(k＋1)2. 答案：k2＋(k＋1)2(或2k2＋2k＋1) 4．设数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an＋2，用数学归纳法证明an＝4·2n－1－2的第二步中，设n＝k时结论成立，即ak＝4·2k－1－2，那么当n＝k＋1时，________. 解析：当n＝k＋1时，把ak代入，要将4·2k－2变形为4·2(k＋1)－1－2的形式． 即ak＋1＝2ak＋2＝2(4·2k－1－2)＋2＝4·2k－2＝4·2(k＋1)－1－2 答案：ak＋1＝4·2(k＋1)－1－2 5．求证：凸n边形对角线条数f(n)＝ n?n－3? 2(n∈N＋，n≥3)． 证明： (1)当n＝3时，f(3)＝0，三角形没有对角线，命题成立． (2)假设n＝k(k∈N＋，k≥3)时命题成立，即凸k边形对角线条数f(k)＝ k?k－3?2. 将凸k边形A1A2?Ak在其外面增加一个新顶点A k＋1，得到凸k＋1边形A1A2??AkAk＋1，Ak＋1依次与A2，A3，?Ak－1相连得到对角线k－2条，原凸k边形的边A1Ak变成了凸k＋1边形的一条对角线，则凸k＋1边形的对角线条数为：f(k)＋k－2＋1＝ k?k－3??k＋1??k－2??k＋1?[?k＋1?－3] ＋k－1＝＝＝f(k＋1)． 222 即当n＝k＋1时，结论正确． 根据(1)(2)可知，命题对任何n∈N＋，n≥3都成立． 6．是否存在常数a、b、c使等式12＋22＋32＋?＋n2＋(n－1)2＋?＋22＋12＝ an(bn2＋c)对于一切n∈N*都成立？若存在，求出a、b、c并证明；若不存在，试说明理由． 解析：假设存在a、b、c使12＋22＋32＋?＋n2＋(n－1)2＋?＋22＋12＝ an(bn2＋c)对于一切n∈N*都成立． 当n＝1时，a(b＋c)＝1； 当n＝2时，2a(4b＋c)＝6； 当n＝3时，3a(9b＋c)＝19. 5 人教A版2018学年高中数学选修练习含答案 ? 解方程组?a?4b＋c?＝3， ?3a?9b＋c?＝19， 证明如下： a?b＋c?＝1， 1?a＝3，?解得?b＝2， ??c＝1. ①当n＝1时，由以上知等式成立． ②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立， 1 即12＋22＋32＋?＋k2＋(k－1)2＋?＋22＋12＝3k(2k2＋1)； 当n＝k＋1时， 12＋22＋32＋?＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋?＋22＋12 1 ＝3k(2k2＋1)＋(k＋1)2＋k2 1 ＝3k(2k2＋3k＋1)＋(k＋1)2 1 ＝3k(2k＋1)(k＋1)＋(k＋1)2 1 ＝3(k＋1)(2k2＋4k＋3) 1 ＝3(k＋1)[2(k＋1)2＋1]． 即当n＝k＋1时，等式成立． 1 因此存在a＝3，b＝2，c＝1使等式对一切n∈N*都成立． 6