【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）矩形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】构造直角三角形，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，分别解Rt△AEC和Rt△AEC即可求解。
24．（2012山西省10分）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答： （1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元。
∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元。 此时，售价为：60﹣6=54（元），
54?100%=90%。 60答：该店应按原售价的九折出售。
【考点】一元二次方程的应用。
25．（2012山西省12分）问题情境：将一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）按图1所示的方式摆放，其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，O是AB的中点，点D与点O重合，DF⊥AC于点M，DE⊥BC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由． 探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法： 解：OM=ON，证明如下： 连接CO，则CO是AB边上中线，
∵CA=CB，∴CO是∠ACB的角平分线．（依据1） ∵OM⊥AC，ON⊥BC，∴OM=ON．（依据2）
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反思交流：
（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1： 依据2： （2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程． 拓展延伸：
（3）将图1中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连接OM、ON，试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程．
【答案】（1）解：等腰三角形三线合一（或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）；角平分线上的点到角的两边距离相等。
（2）证明：∵CA=CB，∴∠A=∠B。
∵O是AB的中点，∴OA=OB。
∵DF⊥AC，DE⊥BC，∴∠AMO=∠BNO=90°。
∵在△OMA和△ONB中，∠A=∠B，OA=OB，∠AMO=∠BNO， ∴△OMA≌△ONB（AAS）。∴OM=ON。
（3）解：OM=ON，OM⊥ON。理由如下：
连接CO，则CO是AB边上的中线。 ∵∠ACB=90°，∴OC=又∵CA=CB，
∴∠CAB=∠B=45，∠1=∠2=45°，∠AOC=∠BOC=90°。∴∠2=∠B。 ∵BN⊥DE，∴∠BND=90°。
又∵∠B=45°，∴∠3=45°。∴∠3=∠B。∴DN=NB。 ∵∠ACB=90°，∴∠NCM=90°。
又∵BN⊥DE，∴∠DNC=90°。∴四边形DMCN是矩形。∴DN=MC。∴MC=NB。
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1AB=OB。 2
∴△MOC≌△NOB（SAS）。∴OM=ON，∠MOC=∠NOB。 ∴∠MOC﹣∠CON=∠NOB﹣∠CON，即∠MON=∠BOC=90°。 ∴OM⊥ON。
（3）利用SAS证明△MOC≌△NOB即可得到OM=ON，∠MOC=∠NOB。通过角的等量代换即可得
∠MON=∠BOC=90°，而得到OM⊥ON。
26．（2012山西省14分）综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x+2x+3与x轴交于A．B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点． （1）求直线AC的解析式及B．D两点的坐标；
（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A．P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．
2
【答案】解：（1）当y=0时，﹣x+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3。
∵点A在点B的左侧，∴A．B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）。
当x=0时，y=3。∴C点的坐标为（0，3）。 设直线AC的解析式为y=k1x+b1（k1≠0），则
2
?b1=3?k1=3，解得?。 ?b=3?k+b=0?1?11∴直线AC的解析式为y=3x+3。
∵y=﹣x+2x+3=﹣（x﹣1）+4，∴顶点D的坐标为（1，4）。
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2
2
（2）抛物线上有三个这样的点Q。如图，
①当点Q在Q1位置时，Q1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1的
坐标为（2，3）；
②当点Q在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为﹣3，代入抛物线可得
点Q2坐标为（1+7，﹣3）；
③当点Q在Q3位置时，点Q3的纵坐标为﹣3，代入抛物线解析式
可得，点Q3的坐标为（1﹣7，﹣3）。
综上可得满足题意的点Q有三个，分别为：Q1（2，3），Q2（1+7，﹣3），Q3（1﹣7，﹣3）。 （3）点B作BB′⊥AC于点F，使B′F=BF，则B′为点B关于直线AC 的对称点．连接B′D交直线AC与点M，则点M为所求。
过点B′作B′E⊥x轴于点E。
∵∠1和∠2都是∠3的余角，∴∠1=∠2。 ∴Rt△AOC∽Rt△AFB。∴
COCA。 =BFAB由A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）得OA=1，OB=3，OC=3， ∴AC=10，AB=4。
∴B′点的坐标为（﹣
2112，）。 55设直线B′D的解析式为y=k2x+b2（k2≠0），则
4?k=?k2+b2=42???13。 ?2112，解得?48?k+b=22??b=5?52?13?∴直线B'D的解析式为：y=448x+。 1313联立B'D与AC的直线解析式可得：
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9?x=?y?3x?3???35。 448，解得??y=x+132??y=?1313??35∴M点的坐标为（
9132）。 ， 3535【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，平行四边形的性质，轴对称的性质，直角三角形两锐角的关系，三角形三边关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解二元一次方程组。
（2）由于点P 在x轴上运动，故由平行四边形对边平行的性质求得点Q的坐标。
（3）点B作BB′⊥AC于点F，使B′F=BF，则B′为点B关于直线AC 的对称点．连接B′D交直线AC与点M，则根据轴对称和三角形三边关系，知点M为所求。
610，从而得到5121012363621BB′=2BF=。由Rt△AOC∽Rt△B′EB得到B′E=，BE= ，OE=BE﹣OB=﹣3=，从而得到
55555 因此，由勾股定理求得AC=10，AB=4。由Rt△AOC∽Rt△AFB求得BF=点B′的坐标。用待定系数法求出线B′D的解析式，与直线AC的解析式即可求得点M的坐标。
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