3.2 复数的四则运算 互动课堂 疏导引导
1.两个复数相加(减)就是把它们的实部与实部、虚部与虚部分别相加(减).实部与实部相加(减)作实部,虚部与虚部相加(减)作虚部,即
(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.两个复数的和(差)仍然是一个确定的复数.
2.两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中，把i2换成-1，并且把实部与虚部分别合并.在进行复数除法运算时，通常先把(a+bi)÷(c+di)写成
a?bi的形式，再把分子与分母都乘以复数(c-di)，并化简成c?diac?bdbc?ad?2i的形式.两个复数乘、除的结果仍是复数. 222c?dc?d3.复数乘法满足的运算律
根据复数代数形式的运算法则，易得复数乘法运算满足以下运算律： 对于任意z1、z2、z3∈C,有z1·z2=z2·z1(交换律)， (z1·z2)·z3=z1·(z2·z3)(结合律)， z1(z2+z3)=z1z2+z1z3(乘法对加法的分配律). 4.有关共轭复数中常用的结论 (1)实数的共轭复数是它本身； (2)纯虚数的共轭复数是其相反数.
以上两结论可表示为z∈R?z=z;z是纯虚数?z=-z. (3)z∈C,|z|=|z|;z·z=|z|2=|z|2. 5.两个常用结论 (1)i幂的周期性.
i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+4=1.n∈N*. (2)“1”的立方虚根ω=?ω2=?,1+ω+ω2=0.
6.在进行复数运算时，熟记下列诸式的结果，有助于简化运算过程 ①(a+bi)(a-bi)=a2+b2;
13?i的性质. 22②(1±i)2=±2i; ③
1?i1?i=i,=-i; 1?i1?i④i的平方根是±（
2222，1的立方?i）,-i的平方根是±(??i）
2222根是1，?1313?i;-1的立方根是-1，?i； 2222⑤设ω为1的立方虚根，则有ω3=1，1+ω+ω2=0，ω2=?； ⑥i=1,i
4n
4n+1
=i,i
4n+2
=-1,i
4n+3
=-i,(n∈N)；
*
⑦in+in+1+in+2+in+3=0,(n∈N*). 活学巧用
例1 计算：(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+ …+(1 999-2 000i)-(2 000-2 001i).
解法一：原式=(1-2+3-4+…+1 999-2 000)+(-2+3-4+5-…-2 000+2 001)i=-1 000+1 000i.
解法二：(1-2i)-(2-3i)=-1+i, (3-4i)-(4-5i)=-1+i, ……
(1 999-2 000i)-(2 000-2 001i)=-1+i.
将上述式子累加得原式=1 000(-1+i)=-1 000+1 000i.
xy5??，求x、y的值. 1?i1?2i1?3ixy5x(1?i)y(1?2i)5(1?3i)????解：可写成， 1?i1?2i1?3i2510例2 已知x、y∈R，且
5x(1-i)+2y(1-2i)=5-15i,(5x+2y)-(5x+4y)i=5-15i.
?5x?2y?5,?x?-1,∴? ??5x?4y?15,?y?5.(?1?3i)3?2?i例3 计算：. ?31?2i(1?i)(?1?3i)3?2?i解： ?31?2i(1?i)(?1?3i)2(?2?i)(1?2i)(?1?3i)2?2?4i?i?2= ???55[(1?i)2]3(2i)3(?1)3?3?(?1)23i?3?(?1)(3i)2?(3i)38=?i??i=i-i=0.
?8i?8iz是实数. 1?z21z解：∵|z|=1，∴z·z=1，z?.令ω=, 2z1?z1zz?z=ω，∴ω=z为实数. 于是???22211?z1?z1?z1?2z例4 设|z|=1且z=±i，证明
点评：若ω=?，则ω∈R.
例5 已知x、y为共轭复数，且(x+y)2-3xyi=4-6i，求x,y及|x|+|y|. 解：设x=a+bi(a、b∈R)，则y=a-bi， 代入原式，得(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i
2??a?1,?a?1,?4a?4或? ????22??b?1?b?-1?-3(a?b)?-6?a?-1,?a?-1,?x?1?i,或?或?∴?
b?1b?-1,y?1-i????x?1-i,?x?-1?i,?x?-1-i,或?或?或? ?y?1?i?y?-1-i?y?-1?i.|x|+|y|=2|x|=2a2?b2?22.