一、选择题
1．（ 广西桂林市）已知直线y??3x?3与坐标轴分别交于点A，B，点P在抛物线y??(x?3)?4上，能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A．
【分析】以点B为圆心线段AB长为半径做圆，交抛物线于点C、M、N点，连接AC、BC，由直线y??3x?3可求出点A、B的坐标，结合抛物线的解析式可得出△ABC等边三角形，再令抛物线解析式中y=0求出抛物线与x轴的两交点的坐标，发现该两点与M、N重合，结合图形分三种情况研究△ABP为等腰三角形，由此即可得出结论．
【解析】以点B为圆心线段AB长为半径做圆，交抛物线于点C、M、N点，连接AC、BC，如图所示．
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令一次函数y??3x?3中x=0，则y=3，∴点A的坐标为（0，3）；
令一次函数y??3x?3中y=0，则?3x解得：x=3，∴点B的坐标为（3，0），∴AB=23．∵?3?0，抛物线的对称轴为x=3，∴点C的坐标为（23，3），∴AC=23=AB=BC，∴△ABC为等边三角形．令
112y??(x?3)2?4中y=0，)?4?0则?(x?3330），点F的坐标为（33，0）． △ABP为等腰三角形分三种情况：
，解得：x=?3，或x=33，∴点E的坐标为（?3，①当AB=BP时，以B点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M、N三点； ②当AB=AP时，以A点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M两点，；
③当AP=BP时，作线段AB的垂直平分线，交抛物线交于C、M两点； ∴能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有3个． 故选A．
考点：二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的判定；分类讨论． 2．（ 湖北省武汉市）平面直角坐标系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A．
【分析】由点A、B的坐标可得到AB=22，然后分类讨论：若AC=AB；若BC=AB；若CA=CB，确定C点的个数．
考点：等腰三角形的判定；坐标与图形性质；分类讨论．
3．（ 湖南省邵阳市）如图所示，点D是△ABC的边AC上一点（不含端点），AD=BD，则下列结论正确的是（ ）
A．AC＞BC B．AC=BC．C．∠A＞∠ABC D．∠A=∠ABC 【答案】A．
【分析】根据等腰三角形的两个底角相等，由AD=BD得到∠A=∠ABD，所以∠ABC＞∠A，则对各C、D选项进行判断；根据大边对大角可对A、B进行判断．
【解析】∵AD=BD，∴∠A=∠ABD，∴∠ABC＞∠A，所以C选项和D选项错误； ∴AC＞BC，所以A选项正确；B选项错误． 故选A．
考点：等腰三角形的性质．
4．（ 福建省漳州市）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点（不含端点B，C），若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C．
【分析】过A作AE⊥BC于E，由等腰三角形的性质得到BE=EC=4，再由勾股定理得到AE=3，从而得到AE≤AD＜AB，即3≤AD＜5，再由AD为正整数，得到AD=3或AD=4，当AD=4时，E的左右两边各有一个点D满足条件，从而得出结论．
【解析】过A作AE⊥BC于E，∵AB=AC=5，BC=8，∴BE=EC=4，∴AE=3，∵D是线段BC上的动点（不含端点B，C），∴AE≤AD＜AB，即3≤AD＜5，∵AD为正整数，∴AD=3或AD=4，当AD=4时，E的左右两边各有一个点D满足条件，∴点D的个数共有3个．故选C．
考点：等腰三角形的性质；勾股定理．
5．（ 江苏省南通市）如图，已知点A（0，1），点B在x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角三角
形ABC，使点C在第一象限，∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，则表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
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A．
【答案】A．
B． C． D．
【分析】根据题意作出合适的辅助线，可以先证明△ADC和△AOB的关系，即可建立y与x的函数关系，从而可以得到哪个选项是正确的．
考点：动点问题的函数图象．
6．（ 甘肃省白银市）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BC=4，点P是△ABC边上一动点，沿B→A→C的路径移动，过点P作PD⊥BC于点D，设BD=x，△BDP的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是（ ）
A．
【答案】A．
B． C． D．
【分析】过A点作AH⊥BC于H，利用等腰直角三角形的性质得到∠B=∠C=45°，BH=CH=AH=分类讨论：当0≤x≤2时，如图1，易得PD=BD=x，根据三角形面积公式得到y=图2，易得PD=CD=4﹣x，根据三角形面积公式得到y=?1BC=2，212x；当2＜x≤4时，如212x?2x，于是可判断当0≤x≤2时，y与x的函2数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分，当2＜x≤4时，y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断．
【解析】过A点作AH⊥BC于H，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，BH=CH=AH=当0≤x≤2时，如图1，∵∠B=45°，∴PD=BD=x，∴y=
1BC=2，2112?x?x=x；
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当2＜x≤4时，如图2，∵∠C=45°，∴PD=CD=4﹣x，∴y=
112?（4﹣x）?x=?x?2x，故选A．
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考点：动点问题的函数图象；分类讨论．
7．（ 青海省西宁市）如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）