证（2） 由f(x)的有界性及积分不等式性质有m?又 ?M??f(x)??m, 故有 ?(M?m)?即 |1a??af(t)dt?M， 2a1a??af(t)dt?f(x)?M?m， 2a1a??af(t)dt?f(x)|?M?m. 2a类型1.4 涉及到定积分的等式证明.
解题策略 用变量代换较多或利用周期函数的性质.
??例3.2.21 证明
??20f(sin2x)dx????20f(cosx)dx.
?证
?20f(sin2x)dx令2x??t21??1???2f[sin(?t)]dt??2?f(cost)dt 2222?2?20???20f(cost)dt??f(cosx)dx(f(cosx)是偶函数).
例3.2.22 设f(x)是以?为周期的连续函数，证明
?证 而
2?0(sinx?x)f(x)dx??(2x??)f(x)dx.
0??2?0(sinx?x)f(x)dx??(sinx?x)f(x)dx??0令x???t?2??(sinx?x)f(x)dx
??2?(sinx?x)f(x)dx?0??0[sin(t??)?t??]f(??t)dt
??00???sintf(t)dt??(t??)f(t)dt???sinxf(x)dx??(x??)f(x)dx
0?故
?2?0(sinx?x)f(x)dx??(sinx?x)f(x)dx??sinxf(x)dx??(x??)f(x)dx
000?????(2x??)f(x).
0??例3.2.23 设f(x)在[0,1]上连续，试证：分析 利用周期函数积分的性质. 证 由|sinx|?sinx?2?20f(sinx)dx?12?f(|sinx|)dx. ?041(1?cos2x)是?为周期的函数，当然也是以2?为周期的函数，2知f(|sinx|)也是以?为周期的函数，于是
·173·
12?1?1?f(|sinx|)dx??f(|sinx|)dx??f(|sinx|)dx 4?04??201??2?f(|sinx|)dx??2f(|sinx|)dx??2f(sinx)dx
002?2例3.2.24 设f(x)是以?为周期的连续函数，证明
????证 而
2?0(sinx?x)f(x)dx??(2x??)f(x)dx.
0?分析 利用周期函数积分的性质与变量代换.
?2?0(sinx?x)f(x)dx??(sinx?x)f(x)dx??0令x???t?2??(sinx?x)f(x)dx
??2?(sinx?x)f(x)dx?0??0[sin(t??)?t??]f(??t)dt
??00???sintf(t)dt??(t??)f(t)dt???sinxf(x)dx??(x??)f(x)dx
0?故
?2?0(sinx?x)f(x)dx??(sinx?x)f(x)dx??sinxf(x)dx??(x??)f(x)dx
000?????(2x??)f(x).
0?类型1.5 涉及到定积分变上下限函数的等式证明.
解题策略 用分变上下限函数的求导，注意要化成标准形式.以下两题类似.
例3.2.25 设连续函数f(x)满足
?x0f(x?t)dt?e?2x?1,求?f(x)dx.
01分析 要化成变上下限函数的标准形式，然后等式两边对x求导 解 令x?t?u，有从而得到
?x0f(x?t)dt???f(u)du??f(u)du,
x 0?2x 0 x?x0f(u)du?e?1，令x=1有 ?f(u)du??f(x)dx?e?2?1.
0011例3.2. 26 求连续函数f(x)，使满足
?10f(xt)dt?f(x)?xex.
分析 通过变量代换把左边的积分化成变上限函数的标准形式，然后等式两边对x求导 解
?10f(xt)dt令xt?u?x011xf(u)?du??f(u)du代入等式并化简有
xx0?得 f'(x)??(2e?xe).
xxx0f(u)du?xf(x)?x2ex， x2x等式两边同时对x求导有 f(x)?f(x)?xf'(x)?2xe?xe，
于是 f(x)???(2e?xe)dx??2e?(xe?e)?c??e?xe?c.
xxxxxxx · ·174
分析 通过变量代换把左边的积分化成变上限函数的标准形式，然后等式两边对x求导 类型1.6 涉及到f(x)与其定积分的等式，求f(x)
解题策略 令该积分为k,求出k，从而求出f(x)
例3.2.27 设连续函数f(x) 满足f(x)?3x2?x解 设a?12?10f(x)dx,求f(x).
121a由于a?f(x)dx?3xdx?axdx?1?, f(x)dx,知f(x)?3x?ax,?0?0?0?0222得a?,故f(x)?3x2?x.
331例3.2.28 已知f(x)满足方程f(x)?3x?1?x2分析如果令k??10f2(x)dx,求f(x).
?10f(t)dt,又有I??f2(x)dx.一个等式中就会有两个未知数，解不出来，因
01此把等式两边平方后再积分.
解 设I?1?10f2(x)dx. 得f(x)?3x?I1?x2,两边平方后再积分有
111000I??f2(x)dx?9?x2dx?6I?x1?x2dx?I2?(1?x2)dx?3?2I?022I 3整理得 2I?9I?9?0，解得I?3或2332，所以f(x)?3x?31?x或f(x)?3x?1?x2. 22类型1.7 [?a,a]上连续f(x)定积分的计算. 解题策略利用区间的对称性与被积函数的奇偶性
x722?x1?x?1?x)dx. 例3.2.29 计算?(61001?x?3x1?1分析 利用区间的对称性与被积函数的奇偶性.
x7212dx??1解 原式???1x1?xdx???11?xdx 61001?x?3x1?1 ?2?01?xdx?2??121????12? （利用定积分几何意义）. 42例3.2.30 计算?6??6sin2xdx. ?x1?esin2x??分析 虽然在[?,]上即不是奇函数，也不是偶函数，更不能直接求出原函数，但
661?e?x我们可以利用??af(x)dx??0[f(x)?f(?x)]dx得
?sin2xsin2(?x)exsin2xsin2x6?]dx??[?]dx 解 原式??[01?e?x1?ex1?ex1?ex60aa? ·175·
1111??6sin2xdx??6(1?cos2x)dx?(x?sin2x)06?(2??33)
0202224???类型1.8定积分的计算.
解题策略利用定积分的线性运算法则、凑微分、变量代换、分部积分
?4例3.2.31 计算?0xdx.
1?cos2x??40x1414dx??xdtanx?(xtanx解 原式??002222cosx1??4)??ln2。 ?(?lncosx0248例3.2.32 计算?0解法一 原式??ln2????04tanxdx)
?1?e?2xdx.
?xln20ee?1dx??2xln203e?1dezx?x??e?xe?12xln20??ln20exdx 2xe?1 ??解法二 令e??x332?ln(ex?e2x?1)ln???ln(2?3). 022?sint,则dx???costdt,于是 sint??cos2t1?sin2t12222dt???dt???dt???sintdt 原式???sintsintsint6666?2? ?ln(csct?cot)?633?ln(2?3)?. 22例3.2.33 计算?e?2n?|[cos(ln)]'|dx,其中n?N. 解 由于[cos(ln)]'?[cos(?lnx)]'?11x1?sin(?lnx),设?lnx?t,即
xxsin(?lnx)sintx?e?t,??t?etsint,dx??e?tdt,于是
xe2n?原式??0|sint|dt利用周期性?2n??0|sint|dt?2n?0sinxdx?4n.
例3.2.34 计算?0?xsinxdx. 21?cosx解 利用方法（7）得
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