新思维第四讲 全等
概念与基本功
一、复习三角形的相关概念：
1. 三角形的分类:按角大小分为 锐角三角形 、 直角三角形 、钝角三角形 。 2. 三角形的中线：从三角形的顶点 和对边的中点 连接所成的线段叫做三角形的中线。 3. 三角形的角平分线：三角形一个角平分线和 对边交点 所成的线段叫做三角形的角平分线
4. 三角形的高：从三角形一个顶点向它对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间 的线段叫做三角形的高。 5. 三角形三边关系：三角形的任意两边的和大于第三边．三角形的任意两边的差 小于 第三边。 6. 三角形的三个内角的和等于180°。三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
7. 线段的垂直平分线：垂直于一条线段 并且平分 这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。
二、全等三角形：
对应边相等，对应角相等 图形的全等全等图形全等三角形边角边（SAS） 角边角（ASA）角角边（AAS） 边边边（SSS） 斜边、直角边（HL） 两个三角形全等的条件 （一）、相关概念： 1. 全等图形：能够重合 的两个图形叫做全等图形，“全等”用符号“≌ ”表示 2. 全等三角形：能够重合的两个三角形 叫做全等三角形；
用符号“≌”来表示全等，图中的△ABC和△DEF全等，记作“△ABC≌△DEF”，读 作“三角形ABC全等于三角形DEF”． 3. 互相重合的顶点叫对应顶点， 互相重合的边叫做对应边，
互相重合的角叫做对应角。
全等三角形的对应边相等，对应角 相等。
注意：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 （二）、全等三角形的判定：
①两边及夹角对应相等（“边角边”或“SAS”） 注意：这个角一定为两个边的夹角
②两角及夹边对应相等（“角边角”或“ASA”） ③两角及一角对边对应相等（“角角边”或“AAS”） ④三边对应相等（“边边边”或“SSS”） ⑤一直角边及一斜边对应相等（“斜边、直角边”或“HL”）——只用于直角△ （三）、注意：
（1）角平分线上的点到角的两边距离相等
（2）AAA—三角对应相等的两个三角形不一定全等；SSA—两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不
一定全等；
（3）三角形全等常用于证明线段、角相等
（4）性质：三角形的稳定性——如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定。
两个直角三角形全等条件 1
特别地，四边形和其它多边形都不具有稳定性。
（四）、用尺规作三角形：
能够作出唯一一个三角形的条件：
（1）已知两边及其夹角，作三角形． （2）已知两角及其夹边，作三角形．
（3）已知两角及其中一角的对边作三角形． （4）已知三边的大小作三角形．
例1：如图，OP是∠MON的角平分线，C是OP上一点，CA⊥OM，CB⊥ON，垂足分别为A、B，△AOC≌△BOC吗？
为什么？
O
MACBN
AIP例：SSA不能判定两个三角形全等
6cm4cm30?CBH30?G
6cm4cm
例：如图，请你选择合适的条件填入空格中，使两个三角形全等。
①因为DF=DF，________,_______,根据_______，可知△DEF≌△DGF。 ②因为DF=DF，________,_______,根据_______，可知△DEF≌△DGF。 ③因为DF=DF，________,_______,根据_______，可知△DEF≌△DGF。 ④因为DF=DF，________,_______,根据_______，可知△DEF≌△DGF。
BDECA图8
?AB?AD??AC?AE??BAC??DAE如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠B与∠D相等吗？小明的思考过程如下：?（①）
2
△ABC≌△ADE（②） ∠B＝∠D（③）
试把每步的理由写在横线上。 （①） （②） （③）
例
①如图（1），AB＝CD，AC＝BD，则与∠ACB相等的角是 ，为什么？ ②如图（2），点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD＝AE，AB＝AC。 若∠B＝20°，CD＝5cm，则∠C＝ ，BE＝ 。 ③如图（3），若OB＝OD，∠A＝∠C，若AB＝3cm，则CD＝
分析：一些题目中，经常会有一些公共边、公共角，以及对顶角这些“隐含的条件” 解：①∠ACB＝∠DBC
②∠C＝20°，BE＝5cm
AB?CD??AC?BD???ABC??DCB(SSS)??ACB??DBCBC?CB??
③CD＝3cm
AD?AE???A??A???ABE??ACD(SAS)??B??C?20?，BE?CD?5cmAB?AC??
?A??C
二、熟练转化“间接条件”判全等
例2. ①如图（4）AE＝CF，∠AFD＝∠CEB，DF＝BE，△AFD与△ CEB全等吗？为什么？ ②如图（5）∠CAE＝∠BAD，∠B＝∠D，AC＝AE，△ABC与△ADE全等吗？为什么？
③“三月三，放风筝”如图（6）是小东同学自己做的风筝，他根据AB＝AD，BC＝DC，不用度量，就知道∠ABC＝∠ADC。请用所学的知识给予说明。
???AOB??COD???AOB??COD(AAS)?CD?AB?3cmOB?OD??
3
分析：从结果入手寻找条件也是证明全等三角形的一种思路。这样就要求我们熟记四种判定的条件。 解：①△AFD与△ CEB全等。∵AE＝CF ∴AE－FE＝CF－FE 即AF＝CE
②△ABC与△ADE全等。 ∵∠CAE＝∠BAD
∴∠CAE+∠EAB＝∠BAD+∠EAB 即∠CAB＝∠EAD
???AFD??CEB???ADF??CBE(SAS)DF?BE??
AF?CE?CAB??EAD???B??D???ABC??ADE(AAS)AC?AE??
③连结AC
AB?AD??BC?DC???ABC??ADC(SSS)??ABC??ADCAC?AC??
1. 全等图形：全等图形：能完全重合的图形（大小，形状完全相同） 2. 对应边、对应角：（全等三角形的对应边、对应角都相等）
已知?ABC??DEF，那么?A与?D是对应角，AB与DE是对应边
3.全等三角形的五种证明方法： （1）边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
全等快速训练
1、已知等腰三角形的一个内角为50，则这个等腰三角形的顶角为
4
2、 已知一个三角形的两边长分别是2厘米和9厘米，第三边长的取值范围是
若第三边为奇数，则第三边长为
3、 （1）有8条线段，长度分别为3厘米、4厘米、5厘米、6厘米、7厘米以其中三条线段为边长，共可以组 成________个形状不同的三角形．其中是直角三角形的概率（可能性）是 锐角三角形的概率（可
A能性）是
（2）至少举出三个构成直角三角形的三边长，每个边长为自然数 4、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是
BD
5、如图所示，有一底角为35°的等腰三角形纸片，现过底边上一点，沿与底边垂直的方向将其剪开，分成三角形和四边形两部分，则四边形中，最大角的度数是 ．
C6、如图，两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起，且∠DAB=30°．有以下四个结论：①AF⊥BC；②△ADG≌△ACF；③O为BC的中点，其中正确结论的序号是
35°
图5
7、 如图，△ABC与△AEF中，AB=AE,BC=EF.∠B=∠E，AB交EF于D。给出下列结论： 1.∠AFC=∠C;2.DF=CF;3.BC=DE+DF;4.∠BFD=∠CAF.其中正确的结论是_______（填写所有正确结论的序号）。
8、 如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB>AD，AB-AD CB-CD （填大于、等于、小于） 9、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=10cm，则AE=___cm． 10、如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠α的度数为______．
典型例题【从简单到复杂】
1、如图，△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，E为BC上一点，∠A与∠DEC互补，若BC=11cm，则△DEC周长为（ ）
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