任意角(2)
课时：02 课型：新授课
教学目标：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立
适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
教学重点：理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义 教学难点：“旋转”定义角 课标要求：了解任意角的概念 教学过程： 一、复习
师：上节课我们学习了角的概念的推广，推广后的角分为正角、负角和零角；另外还学习了象限角的概念，下面请一位同学叙述一下它们的定义。 生：略
师：上节课我们还学习了所有与α角终边相同的角的集合的表示法，[板书]
0
S={β|β=α+k×360，k∈Z}
这节课我们将进一步学习并运用角的概念的推广，解决一些简单问题。 二、例题选讲
00
例1：写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式-360≤β<720的元素β写出来：
000，
（1）60； （2）-21； （3）36314
0000
解：（1）S={β|β=60+k×360，k∈Z}S中适合-360≤β<720的元素是
000 000 00060+（-1）×360=-30060+0×360=6060+1×360=420.
0000
（2）S={β|β=-21+k×360，k∈Z} S中适合-360≤β<720的元素是
000 000 000 -21+0×360=-21 -21+1×360=339-21+2×360=699
0000
说明：-21不是0到360的角，但仍可用上述方法来构成与-21角终边相同的角的集合。
0，000
（3）S={β|β=36314+k×360，k∈Z} S中适合-360≤β<720的元素是 说明：这种终边相同的角的表示法非常重要，应熟练掌握。 例2：写出终边在下列位置的角的集合
(1)x轴的负半轴上；（2）y轴上
分析：要求这些角的集合，根据终边相同的角的表示法，关键只要找出符合这个条件的一个
0
角即α，然后在后面加上k×360即可。
○○0
解：（1）∵在0～360间，终边在x轴负半轴上的角为180，∴终边在x轴负半轴上
00
的所有角构成的集合是{β|β=180+k×360，k∈Z }
○○000
（2）∵在0～360间，终边在y轴上的角有两个，即90和270，∴与90角终边相
00
同的角构成的集合是S1={β|β=90+k×360，k∈Z }
000
同理，与270角终边相同的角构成的集合是S2={β|β=270+k×360，k∈Z } 提问：同学们思考一下，能否将这两条式子写成统一表达式？ 师：一下子可能看不出来，这时我们将这两条式子作一简单变化：
0000
S1={β|β=90+k×360，k∈Z }={β|β=90+2k×180，k∈Z }………………（1）
00000
S2={β|β=270+k×360，k∈Z }={β|β=90+180+2k×180，k∈Z }
00
={β|β=90+（2k+1）×180，k∈Z } …………………（2）
0
师：在（1）式等号右边后一项是180的所有偶数（2k）倍；在（2）式等号右边后一项是
180的所有奇数（2k+1）倍。因此，它们可以合并为180的所有整数倍，（1）式和（2）式
00
可统一写成90+n×180（n∈Z），故终边在y轴上的角的集合为
0000
S= S1∪S2 ={β|β=90+2k×180，k∈Z }∪{β|β=90+（2k+1）×180，k∈Z }
00
={β|β=90+n×180，n∈Z } 处理：师生讨论，教师板演。
提问：终边落在x轴上的角的集合如何表示？终边落在坐标轴上的角的集合如何表示？
00
（思考后）答：{β|β=k×180，k∈Z },{β|β=k×90，k∈Z } 进一步：终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合如何表示？
00
答：{β|β=45+n×180，n∈Z }
0
推广：{β|β=α+k×180，k∈Z }，β，α有何关系？（图形表示） 处理：“提问”由学生作答；“进一步”教师引导，学生作答；“推广”由学生归纳。 例3：若?是第二象限角，则2?，
00
?2，
?3分别是第几象限的角？
师：?是第二象限角，如何表示？
0000
解：（1）∵?是第二象限角，∴90+k×360
0000
∴ 180+k×720<2?<360+k×720
∴2?是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上。 ．．．．．．．．（2）∵k?180?45????2?k?180??90(k?Z)，
处理：先将k取几个具体的数看一下（k=0，1，2，3…），再归纳出以下规律： 当k?2n(n?Z)时，n?360?45????2??n?360??90?(k?Z)，
?2是第一象限的角；
当k?2n?1(n?Z)时，n?360?225?角。 ∴
??2?n?360??270?(k?Z)，
?2是第三象限的
?2是第一或第三象限的角。
说明：配以图形加以说明。
（3）学生练习后教师讲解并配以图形说明。（
?3是第一或第二或第四象限的角）
进一步求??是第几象限的角（??是第三象限的角），学生练习，教师校对答案。 三、例题小结
1． 要注意某一区间内的角和象限角的区别，象限角是由无数各区间角组成的； 2． 要学会正确运用不等式进行角的表述同时要会以k取不同的值讨论型如
0
θ=a+k×120（k∈Z）所表示的角所在的象限。 四、课堂练习 练习1： 若?的终边在第一、三象限的角平分线上，则2?的终边在y轴的非负半轴上. 练习2：若?的终边与60角的终边相同，试写出在（0，360）内，与
0
0
0
?3角的终边相同的
角。 （20，140，260）
（备用题）练习3： 如右图，写出阴影部分（包括边界）的角
000
【{α| 120+k×360≤α≤250+k×360，k∈Z}；是】 五、作业 A组:
1．与终边相同的角的集合是___________，它们是第____________象限的角，其中最小的正角是___________，最大负角是___________．
oo
2．在0~360范围内，找出下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角： （1）－265 （2）－1000
?o
0000
（3）－84310’ （4）3900
oo
B组
3．写出终边在x轴上的角的集合。
oo
4．写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－360≤β＜360的元素写出来：
oooooooo
(1)60 (2)－75 (3) －82430’ (4) 475 (5) 90 (6) 270 (7) 180 (8) 0 C组：若是第二象限角时，则，，分别是第几象限的角？