抽油杆偏磨三维力学模型的建立与分析
苗长山1黄源琳2,3王旱祥1，王艳红1，
(1.中国石油大学(华东)机电工程学院2.长庆石油勘探局科技处3.西南石油大学)
摘要 对抽油机井的杆柱运动状态、杆柱所受的各种摩擦力进行分析与计算，考虑抽油杆柱的约束条件和井斜角、方位角的变化等边界条件后，建立了抽油杆柱的三维受力模型。对模型进行相关分析，找出了在定向井、水平井里容易发生偏磨的部位，从而指导杆柱的优化设计和优化配套防偏磨工艺，解决现场存在的管杆偏磨问题，延长油井的生产周期。 关键词抽油杆偏磨三维力学模型防偏磨措施 引言
油田开发到中后期，随着油井开发状态的变化，对于抽油机井来说，导致的直接后果就是抽油杆柱、管柱的受力状态变得恶劣，油井杆管偏磨问题越来越严重;同时由于井液高矿化度的影响以及井身结构自身问题，更加速了杆管偏磨。油井杆管偏磨加剧产生的直接问题就是大量杆管材料的早期报废和大量额外的油井作业费用的增加。另外，在不同的油藏类型巾均存在油井偏磨问题，而且随着油田不断的深人开发，油井偏磨问题还有继续增加的趋势，目前国内外对杆管的偏磨机理及配套技术的研究主要是针对二维力学模型进行的。笔者考虑 了油井的井斜角、方位角的变化建立了三维力学模型，并对模型进行了相关分析，找出了在定向井、水平井里容易发生偏磨的部位，为指导杆柱的优化设计和防偏磨工艺的优化奠定了理论基础。
抽油杆柱的受力分析和模型建立
1，上冲程抽油杆柱受力模型
假设井下抽油杆柱为柔性杆，不考虑抽油杆柱截面上的剪切力和弯矩。
在上冲程过程中，游动阀关闭，固定阀打开，柱塞和液柱在抽油杆的带动下向上运动。以在一段任意井深处长为△L的抽油杆柱作为研究对象来进行分析，任意深度抽油杆柱的受力如图1所示。
（1）
抽油
Fmg
Fmg=?rAr?Lg
?r——抽油杆的密度，kg/m3;
Ar——抽油杆柱的横截面积，m2;
g——重力加速度，m/s2 ;
?L——抽油杆柱的长度，m。 (2)抽油杆柱所受浮力F浮 F浮=?LArg?L
?L——油井液体的密度，kg/m3 。
(3)抽油杆柱产生的惯性载荷F杆惯 F杆惯=?rAr?L?r
式中?r——杆柱加速度，m/s ,
2
?r=
?2S2cos?
? ——曲柄的角速度;
S——冲程长度，m; ? ——曲柄转角。
(4)油管内液体在柱塞上产生的液体载荷P液 P液 = (F?Ar)?LgHP (4) 式中F—抽油泵柱塞的横截面积，m2 ; HP—下泵处油井垂深，m。 (5)油管内液体产生的惯性载荷F液惯 F液惯 =(F?Ar)?L?c?HP 式中。?c—液柱加速度，m/s2 ;
ε—油管过流面积扩大引起的油柱加速度 降低系数，。由下式计算[1] ??F?Ar (6)
Ft?Ar式中Ft—油管的内圆面积，m2。
(6)油管对抽油杆柱的支持力N 在三维井身模型中，油管对抽油杆柱的支持力可分解在2个相互垂直的平面上，即狗腿平面和与狗腿平面相垂直的平面上。
根据几何关系，狗腿平面内全角口(即狗腿角)与井斜角和方位角有如下关系 cosβ=cosα1cosα2+ sinα1 sinα2cos(φ2一φ1)
式中。α1, α2, φ1,φ2—该井段两端的井斜角、方位角。 在狗腿平面上的侧压力N1是由轴向力和抽油杆柱重力引起。根据力的平衡有 N1=(Pi+Pi+1 ) sin (β/2 )+
(Fmg一F浮)cosγn (8) 式中Pi,Pi+1——单元段两端的轴向载荷;
γn—井筒主法线方向与重力矢量之间的夹角;
cosγn =sin???1??2???1??2??sin??/ 22????
1?cos? (9) 2故有
N1=(Pi+Pi+1 )
1?cos?????2???1??2?+(Fmg一F浮)sin?1?/ ?sin?222????
1?cos? (10) 2 在与狗腿平面相垂直的平面上的侧压力Nz只是由抽油杆柱的重力引起的。故有 N2=(Fmg一F浮)cosγo (11) 式中γo—井筒副法线方向与重力矢量之间的夹 角;
2 cosγo=sinα1 sinα2sin(φ2一φ1)/1?cos? (12)
故有
2N2=(Fmg一F浮) sinα1 sinα2sin(φ2一φ1)/1?cos? (13) 22所以油管对抽油杆柱的支持力N=N1?N2。
(7)运动副之间的摩擦力
①柱塞与泵筒之间的摩擦力f干摩。
由于目前油田采出液的含水率绝大多数都在50%以上。实验表明，这类抽油井的油水混合液是属于非稳固的乳化液，易分层为原油和水，实际上是属于两相流的形式，而其中的原油是分散相，水是连续相。因此，完全可以认为，这时在抽油杆的外表面、油管的内表面以及柱塞和衬套是被水浸湿的，柱塞和衬套之间的半干摩擦力f干摩，可以利用水作为润滑剂时的有关实验数据，因此采用以下经验 公式[2]
f干摩=0. 94Db/δ-140 (14) 式中Db—抽油泵直径，mm;
δ—在柱塞与衬套半径副上的间隙，mm。
我国标准抽油泵的技术条件规定，柱塞和衬套的配合间隙分为3个等级。计算时取3个配合间隙的平均值，即取0. 053 mm作为依据。 ②抽油杆柱与油管之间的摩擦力f杆管。 f杆管=f| N| （15）
式中f—抽油杆柱与油管之间的摩擦因数。
(8)作用在柱塞上的载荷Pu。上冲程时抽油杆柱带着柱塞向上运动，柱塞上作用有液柱的重力和惯性力、柱塞与衬套的摩擦力 Pu=P液+ F液惯+f干摩
根据牛顿第二定律和平衡原理得
（Fmg?F浮）?Pi?1?Pi?F杆惯?f杆管???cos?i??i?1(i?0,1,2?)?2?f?f| N|?杆管?N?N2?N212??1?cos?i? +(Fmg一F浮)X （16） ? N1=(Pi+Pi?1) 2????1??2???1??2?1?cos?i? sin?? /?sin?222?????? ??N2=(Fmg一F浮) sinαi sinαi?1sin(φi?1一φi)/?2?1?cos? ? 2.下冲程抽油杆柱受力模型
在下冲程过程中，游动阀打开，固定阀关闭，液柱的载荷作用转移到油管底部，液体经过固定阀进入油管，受到阻力作用。在任意深度抽油杆柱的三维受力图。如图2所示。
下冲程时，抽油杆柱重力、浮力、惯性力以及柱塞与衬套之间的摩擦力的计算模型和上冲程的完全一样。以下是其他力的计算模型
(1)抽油杆柱与液柱之间的摩擦力f杆液[3]
(m2?1)vrf杆液=2???L2 (17)
(m?1)lnm?(m2?1)式中 m——油管内径与抽油杆直径之比值，m= Dt/Dr;
Dt—油管的内径，m; Dr—抽油杆的直径，m;
μ—井液的动力粘度，Pa·s vr—杆柱运动速度，m/s; vr =
?S2sin?。
(2)液体流过游动阀时产生的阻力f阀[4]
221.5nkF(F?f座孔)（Sn）f阀=(?Lg) (18)
729?12f座孔g式中nk—游动阀的个数;
f座孔—游动阀阀座孔断面面积，m2 ;
?1—井液通过游动阀的流量系数。
(3)作用在柱塞上的载荷Pd 下冲程时抽油杆柱带着柱塞下行，柱塞受到液体经过游动阀口的阻力及其与衬套的摩擦力。
Pd =f阀+f干摩 （19)
与上冲程一样，根据牛顿第二定律和平衡原理 可得
（Fmg?F浮）?Pi?1?Pi?F杆惯?f杆管?f杆液???cos?i??i?1(i?0,1,2?)?2?f?杆管?f| N|?N?N2?N212??1?cos?i? +(Fmg一F浮)X （20） ? N1=(Pi+Pi?1) 2????1??2???1??2?1?cos?i? sin?? /?sin?222?????? ??N2=(Fmg一F浮) sinαi sinαi?1sin(φi?1一φi)/?2??1?cos?i 3，受力模型的边界条件
已经建立抽油杆柱的三维受力模型，要进行具体计算就要找出边界条件，显然以抽油杆柱最底端的轴向力Po作为边界条件最合适。
根据作用力与反作用力的关系，抽油杆柱最底端的受力与作用在柱塞上的载荷大小相同，方向相反。即上冲程边界条件: Po=Pu=P液+F液惯+f干摩
下冲程边界条件: Po=Pd=f阀+f干摩
受力计算与分析
根据建立起的抽油杆柱三维受力模型，用C语言编写了计算程序，对辽河油田某油区冷41 -平3井进行计算。计算程序的流程图如图3所示。