高中理科数学（2017-2015）三年高考真题分项专题汇编：
椭圆及椭圆的综合应用
x2y21.【2017浙江，2】椭圆??1的离心率是
94A．13 3 B．5 3 C．
2 3 D．
5 9【答案】B 【解析】 试题分析：e?9?45，选B． ?33
x2y22.【2017课标3，理10】已知椭圆C：2?2?1，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2
ab为直径的圆与直线bx?ay?2ab?0相切，则C的离心率为
A．6 3 B．3 3 C．2 3 D．
1 3【答案】A 【解析】
试题分析：以线段A1A2为直径的圆的圆心为坐标原点?0,0?，半径为r?a，圆的方程为x?y?a，
222直线bx?ay?2ab?0与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即：d?整理可得a?3b，即a2?3a2?c2,2a2?3c2，
222aba?b22?a，
??c22c26?从而e?2?，椭圆的离心率e??，
a33a32故选A.
【考点】椭圆的离心率的求解；直线与圆的位置关系
【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式e＝
c； a②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).
3.【2016高考浙江理数】已知椭圆C1：别为C1，C2的离心率，则（）
+y2=1(m>1)与双曲线C2：–y2=1(n>0)的焦点重合，e1，e2分
A．m>n且e1e2>1 B．m>n且e1e2<1 C．m 则很容易出现错误。 4.【2016高考新课标3理数】已知分别为 于 点 .若直线 经过（B） 的中点，则 （C） 的离心率为（） （D） 的左，右顶点. 为 为坐标原点， 是椭圆轴.过点 ： 的直线与线段 的左焦点，交于点 ，与 轴交 上一点，且 （A） 【答案】A 【解析】 试题分析：由题意设直线的方程为 ，分别令 与 得点 ， ，由，得，即，整理，得，所以椭 圆离心率为，故选A． 考点：椭圆方程与几何性质． 【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得 的齐次等式，求得 的值，进而求得的值；（2）建立 或转化为关于的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出． 5.【2015高考新课标1，理14】一个圆经过椭圆圆的标准方程为. 【答案】 的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该 【解析】设圆心为（，0），则半径为，则，解得，故圆的方程为 . 6.【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系 中， 是椭圆 的右焦点，直线 与椭圆交于两点，且,则该椭圆的离心率是. 【答案】 【解析】由题意得考点：椭圆离心率 ，因此 【名师点睛】椭圆离心率的考查，一般分两个层次，一是由离心率的定义，只需分别求出椭圆标准方程中量的含义，二是整体考查，求个齐次等量关系，通过解方程得到离心率的值. ，这注重考查 的一 的比值，这注重于列式，即需根据条件列出关于 3x2y27.【2017课标1，理20】已知椭圆C：2?2=1（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，）， 2abP4（1，3）中恰有三点在椭圆C上. 2（1）求C的方程； （2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点. 【解析】 试题分析：（1）根据P3，由椭圆的对称性可知C经过P3，P4两点关于y轴对称，P4两点.另外 1113???a2b2a24b2知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此P（2）1,P3,P4在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C的方程；先设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，在设直线l的方程，当l与x轴垂直，通过计算，不满足题 x2意，再设设l：y?kx?m（m?1），将y?kx?m代入?y2?1，写出判别式，韦达定理，表示出k1?k2， 4根据k1?k2??1列出等式表示出k和m的关系，判断出直线恒过定点. 试题解析：（1）由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知C经过P3，P4两点. 又由 1113知，C不经过点P1，所以点P2在C上. ???a2b2a24b2?1?12???a?4?b2因此?，解得?2. 13????b?1?122?4b?ax2故C的方程为?y2?1. 4 (4k2?1)x2?8kmx?4m2?4?0 由题设可知?=16(4k2?m2?1)?0. 4m2?48km设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=?2，x1x2=. 4k2?14k?1y?1y2?1而k1?k2?1 ?x1x2??kx1?m?1kx2?m?1 ?x1x22kx1x2?(m?1)(x1?x2). x1x2由题设k1?k2??1，故(2k?1)x1x2?(m?1)(x1?x2)?0. 4m2?4?8km?(m?1)?2?0. 即(2k?1)?24k?14k?1m?1解得k??. 2当且仅当m??1时，??0，欲使l：y??所以l过定点（2，?1） 【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系. m?1m?1x?m，即y?1??(x?2)， 22