第一学期期中考试高二数学理科试题
时量120分钟 总分 150分
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个 是符合题目要求的． 1、已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合?( )
7、
U(A∪B)＝
A．{x|x≥0} B．{x|x≤1} C．{x|0≤x≤1} D．{x|0 3sin?6，则 A．a?b?c B．c?a?b C．b?a?c D．b?c?a 3、已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝( ) A．－92 B．0 C．3 D.152 4、已知函数f(x)?x?lnx有唯一的零点，则其零点所在区间为 （ ） A．（0 ，1） B．（1 ，2） C．（2 ，3） D． （3 ，4） 5、阅读下图所示的程序框图，若输入的a,b,c分别 为21，32，75，则输出的a,b,c分别是（ ） A．75，21，32 B. 21，32，75 C. 32，21，75 D. 75，32，21 6、在空间中，下列命题正确的是（ ） 平行于同一平面的两条直线平行 平行于同一直线的两个平面平行 C 垂直于同一直线的两条直线平行 D 垂直于同一平面的两条直线平行 7、右图为一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为( ) 2 2 2 2 2 2 主视图 左视图 俯视图 A.8?42 B.8?82 C.4?42 D.4?22 8、要得到函数y=cos(x2??4)的图像，只需将y=sinx2的图像( ) A. 向左平移? ?2个单位长度 B. 向右平移2个单位长度 C. 向左平移 ?个单位长度 D. 向右平移 ?4 4个单位长度 9、若直线x－y＝2被圆(x－a)2 ＋y2 ＝4所截得的弦长为22，则实数a的值为( )． A．－1或3 B．1或3 C．－2或6 D．0或4 ?|lg x|，0 ???－12 x＋6，x>10， 若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围 是( ) A．(1,10) B．(5,6) C．(10,12) D．(20,24) 二、填空题：本大题共5小题， 每小题5分，满分25分． 11、已知过点A(?2,m)和B(m,4)的直线与直线2x?y?1?0平行，则m的值为 . 12、某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个 年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生． 13、已知角??P?x,4?cos??x是第二象限角，角的终边经过点，且 5，则tan?? .14、若将函数f(x)＝sin??2x＋π 4??的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y轴对称，则φ的最小正值 是________． 15、已知函数y?log1?x2?2ax?3?在???,1?上为增函数，则实数a的取值范围是 . 3 三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤. A B1 16、（本题12分）已知函数f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－2. π2 (1)若0<α<，且sin α＝，求f(α)的值； (2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间． 221＋cos 2x111 解： f(x)＝sin xcos x＋cos2x－＝sin 2x＋－ 2222π112 ＝sin 2x＋cos 2x＝sin?2x＋?. 2224??ππ2 (1)因为0<α<，sin α＝，所以α＝， 224从而f(α)＝ π2?23π1sin2α＋?＝sin＝. 2424?2? ………(6分) (2)∵平面SAB?平面SBC ,平面SAB交平面FSBC=BC AF?平面SAB ,AF⊥SB ∴AF⊥平面SBC 又∵BC?平面SBC ∴AF⊥BC 又∵AB?BC, AB交AF=A, AB、AF?平面SAB ∴BC⊥平面SAB又∵SA?平面SAB∴BC⊥SA ………(7分) 19、（本题12分） 从某校高三年级800名学生中随机抽取50名测量身高．据测量，被抽取的学生的身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果分成八组得到的频率分布直方图如下： （1）试估计这所学校高三年级800名学生中身高在180cm以上（含180cm）的人数为多少； （2）在样本中，若学校决定身高在185cm以上的学生中随机抽取2名学生接受某军校考官进行面试，求：身高在190cm以上的学生中至少有一名学生接受面试的概率． 频率 2π (2)T＝＝π. 2 πππ3ππ 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 242883ππ 所以f(x)的单调递增区间为?kπ－，kπ＋?，k∈Z. 88?? 17、（本题12分）设向量a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)． (1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b＋c|的最大值； 组距0.06 0.04 18、（本题12分）在三棱锥S?ABC中,平面SAB?平面SBC,AB?BC,AS?AB, 过A作AF?SB,垂足为F,点E，G分别是棱SA，SC的中点. 求证:(1)平面EFG//平面ABC ； (2)BC?SA. 证明:(1)∵AS?AB,AF?SB∴F分别是SB的中点 ∵E.F分别是SA、SB的中点 ∴EF∥AB 又∵EF?平面ABC, AB?平面ABC ∴EF∥平面ABC 同理:FG∥平面ABC 又∵EF交FG=F, EF、FG?平面ABC∴平面EFG//平面ABC 0.016 0.008 155 160 165 170 175 180 185 190 195 身高（cm） （1）由频率分布直方图可知，样本中身高介于185cm~190cm的频率为： 1?(0.008?0.016?0.04?0.04?0.06?0.016?0.008)?5?0.06， …… …… 3分 ∴800名学生中身高在180cm以上的人数为： 800?(0.016?5?0.06?0.008?5)?144人． …… …… …… …… …… 6分 （2）样本中，身高介于185cm~190cm的学生人数为50?0.06?3人，身高介于190cm~195cm的学生人数为50?0.008?5?2人． ∴“身高在185cm以上的学生5人中随机抽取2名学生”的基本事件数共15种， 其中抽取的2名学生中“身高在190cm以上的学生中至少有一名学生”的基本事件数有7种． S E ∴所求事件的概率为P?7． …… …… …… …… …… …… …… …… 12分 15G C A B 20、（本题14分）已知圆C的方程x2?y2?2x?4y?m?0 （1）若点A(m,?2)在圆C的内部,求m的取值范围； （2）若当m?4时 ①设P(x,y)为圆C上的一个动点，求(x?4)2?(y?2)2的最值；. ②问是否存在斜率是1的直线l，使l被圆C截得的弦AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由. 解：（1）(x?1)2?(y?2)2?5?m,∴m>-5. 又有 点A（m，-2）在圆C的内部，可得 (m?1)2?(?2?2)2?5?m，即：?1?m?4 ??1?m?4 （2）①当m=4时，圆C的方程即(x?4)2?(y?2)2?5?4?9，而(x?4)2?(y?2)2表示圆C上的点P（x，y）到点H（4，2）的距离的平方，由于|HC|=(4?1)2?(2?2)2=5，故(x?4)2?(y?2)2的最大值为 （5+3）2 =64，(x?4)2?(y?2)2的最小值为 （5-3）2 =4． ②法一：假设存在直线l满足题设条件，设l的方程为y=x+m,圆C化为(x?4)2?(y?2)2?9,圆心C ?（1，-2），则AB中点N是两直线x-y+m=0与y+2=-（x-1）的交点即N ???m?12,m?1?2??,以AB为直径的圆1?2?m经过原点，∴|AN|=|ON|，又CN⊥AB，|CN|= 2， (3?m)???m?1?2???22?m?1??∴|AN|=9?2.又|ON|=?2??2?,由|AN|=|ON|，解得m=-4或m=1. ∴存在直线l，其方程为y=x-4或y=x+1． 法二：假设存在直线l，设其方程为：y?x?b ??x2?y2?2x?4y?4?0由?y?x?b得： 2x2?(2b?2)x?b2?4b?4?0 ① 设A（x1，y1），B（x2，y2） 则：xx?xb2?4b?41?2??b?1，x12?2 ∴y1y2?(x1?b)(x2?b) ?x1x2?b(x1?x2)?b2b2??4b?42?b(?b?1)?b2?b2?2b?42 b2?4b?4b2?2b?又∵OA⊥OB∴x1x2?y ∴?4?01y2?022 解得b=1或b??4 把b=1和b??4分别代入①式，验证判别式均大于0，故存在b=1或b??4 ∴存在满足条件的直线方程是：x?y?1?0或x?y?4?0 21、（本题13分） 如图,建立平面直角坐标系xoy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y?kx?1(1?k2)x220(k?0)表示的曲线上,其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由. 】解:(1)在y?kx?120(1?k2)x2(k?0)中,令y?0,得kx?120(1?k2)x2=0. 由实际意义和题设条件知x>0，k>0. ∴x=20k1?k2=201?20=10,当且仅当k=1时取等号. ?k2k∴炮的最大射程是10千米. (2)∵a>0,∴炮弹可以击中目标等价于存在k?0,使ka?即关于k的方程a2k2?20ak?a2?64=0有正根. 由?=??20a??4a2a2?64?0得a?6. 21(1?k2)a2=3.2成立, 20??此时,k=20a???20a?2?4a2?a2?64?>0(不考虑另一根). 2a2∴当a不超过6千米时,炮弹可以击中目标.