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第七讲、对数与对数函数
一、 例题精讲
板块一：对数及其运算
【例1】 计算：[(1?log63)2?log62?log618]?log64
【例2】 计算：(log23?log49?log827?...?log23n)?log9n32(n?N?)
n
【例3】 计算：5
【例4】 （04-北京-模拟）已知log189?a，18b?5． 用a,b表示log3645
lg30?1?????3?lg0.5
板块二：对数函数及其性质
1．理解对数函数的概念，底数大于０且不等于１，真数为正．
根据对数的性质可知：当底数和真数同在(0,1 )上或(1, ??)上时，对数为正；当真数为１时，对数为０；当底数和真数一个在(0,1 )上另一个在(1, ??)上时，对数为负．这在对数的大小和比较中有重要应用．
2．理解对数函数与指数函数互为反函数，其图象关于y?x对称，单调性一致．
3．对数函数恒过点(1, 0)，要注意这个条件的灵活应用．即这个点是与底数a无关的，不随a的变化而变化．
2 例如，函数y?loga(x?2)?x?1(a?0且a?1)恒过一定点，则该点的坐标为 ．我们知2道loga1?0，这是与a无关的一个等式，于是x?2?1则x?3，从而y?3?1?8，故定点为(3, 8)
4．掌握对数函数性质，在a?1时，函数为增函数；在0?a?1时，函数减函数． 5．掌握对数函数图象的性质，在第一象限，沿着逆时针方向，a逐渐变小．
6．在对数函数的大小比较中，常见的方法是作差法、中间量法，在含绝对值的对数函数的大小比较时，还经常用到作商法和求和法（利用实数的性质），注意结合第1、第4、第五点进行大小比较时的灵
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活应用．
7．形如y?loga(x2?ax?b)的函数定义域为R或值域为R时的等价转换．
【备选】 已知函数y?loga(a?a)，其中a?1，求它的定义域和值域．
【例5】 已知log
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x5?logn5，试确定m和n的关系．
【例6】 设0?x?1，a?0且a?1，试比较|loga(1?x)|与|loga(1?x)|的大小．
【例7】 设0?a?1，x,y满足：logax?3logxa?logxy?3，如果y有最大值
【例8】 当a为何值时，不等式log1(x2?ax?5?1)?log5(x2?ax?6)?loga3≥0有且只有一解
a24，求此时a和x的值．
【备选】 （00-京皖春季-理T21）设函数f(x)?|lgx|，若0?a?b，且f(a)?f(b)，证明：ab?1
板块三：指数函数与对数函数
3【备选】 求下列函数的反函数：①y?x?1(x?R)； y?3x?1(x?R)； ②
y? ③x?1(x≥0)； ④y?2x?3x?1(x?R,x?1)
【铺垫】函数f(x)?log2x?2，则f?1(x)的定义域是（ ）
A．R B． ??2,??? C．?1,??? D．?0,1? 【例9】 求函数y?
e?1e?1xx，x??0,???的反函数．
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【例10】 已知函数
【例11】 已知f(x)?ax，g(x)??log的图象（ ）
A．关于直线x?y?0对称； B．关于直线x?y?0对称； C．关于y轴对称； D．关于原点对称．
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?x2?1 f(x)??2x?1? ，求它的反函数.
b?1．且lga?lgb?0，a?1，则y?f(x)与y?g(x)x，
【备选】 （04-全国-理15）已知函数y?f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)?3x?1，设f(x)的反函数
是y?g(x)，则g(?8)?
四、家庭作业
习题1. 已知f(x)?2x，则方程f?1(x?1)?f?1(x)?1的解集为_________．
习题2. 已知函数f(x)?3x，且f?1(18)?a?2，g(x)?3ax?4x．
⑴求a的值； ⑵求g(x)的表达式； ⑶当x?[?1,1]时，g(x)的值域并判断g(x)的单调性．
习题3. 计算
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(lg27?lg8?lg1000)lg3?lg9?1lg1.2?lg0.32
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习题4. 已知x,y,z?R?，3x?4y?6z （1）求证：?z11x?12y咨询电话：5025206
；（2）比较3x,4y,6z的大小；
习题5. 已知f(x)?loga(a?ax)(a?1)，
⑴求f(x)的定义域和值域； ⑵判断函数的单调性并证明；⑶解不等f?1(x2?2)?f(x)
五、月测备选
1. 解方程：lg2x?[lgx]?2?0 （其中[x]表示不大于实数x的最大整数）
2. 方程log2(x?3)?3x有多少个实数根．
3. 设y?log
4. 设a?0,a?1,f(x)?ax?a?x,g(x)?ax?a?x且f(x)f(y)?4,g(x)g(y)?8．求x,y的值．
5. 设函数y?f(x)?2ax?12x?b0.52xx2x[a?2(ab)?b?1]，a，b都是正实数，求使y取负值时x的取值范围．
的图象关于直线y?x对称，求a,b应满足的条件．
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