导数与三次函数—专题
三次函数f?x??ax3?bx2?cx?d（a、b、c、d?R且a?0）是中学数学利用导数研究函数的单调性、极值（最值）的一个重要载体，是应用二次函数图象和性质的好素材，既可以整合函数图象和性质、不等式、方程、导数等相关知识，完善知识结构，又能体会其中蕴涵的数学思想方法。近几年的全国各省市高考试卷以导数为工具，有重点地考查了有关三次函数的单调性、极值、在闭区间上的最值、对参数的取值范围的探究等函数性质，凸显“在知识网络交汇点上”命题的理念。 例1、已知函数f?x??x3?3x
⑴求函数f?x?的单调区间及极值；⑵求f?x?在?0,3?上的最值。 解：令f??x??3x2?3?0?x1?1,x2??1 x、f??x?、f?x?的变化情况如下表
x f??x? f?x? ???,?1? ＋ －1 0 极大值 （－1，1） － 1 0 极小值 ??1,??? ＋ ∴f?x?的单调递增区间是???,?1?和?1,??? f?x?的单调递减区间是??1,1?
当x??1时，f?x?有极大值f??1????1??3???1??2 当x?1时，f?x?有极小值f?1??13?3?1??2 ⑵f?0??0，f?3??33?3?3?18
∵f?x?在?0,3?上只有一个极值点f?1???2 ∴f?x?在?0,3?上的最小值为－2，最大值为18 变式一、已知函数f?x??x3?3x2?3x，其他不变
3
解：f??x??3x2?6x?3?3?x?1??0
∴f?x?在???,???单调递增，f?x?没有极值
f?x?在?0,3?上的最小值为f?0??0，最大值为f?3??63 变式二、已知函数f?x??x3?x2?3x；其他不变 解：f??x??3x2?2x?3
△?22?4?3?3??20?0
∴f??x??0没有实数根 ∴f??x??0在R上恒成立 ∴f?x?在???,???上单调递增，f?x?没有极值
f?x?在?0,3?上的最小值为f?0??0，最大值为f?3??45
变式三、已知函数y1?t，y2?x3?3x，实数t为何值时，函数y1与y2的图象的
交点有一个、二个、三个？
解：由例1画出函数y2的大致图象如图，观察图象，可得
y 2 当t?2或t??2时，函数y1与y2 只有一个交点。
当t??2或t?2时，函数y1与y2 有二个交点。
当?2?t?2时，函数y1与y2有三个交点。 2 O －1 －2 1 x 变式四、a为何值时，函数f(x)?x3?3x?a有一个零点？两个零点？三个零点？
2解：令f??x??3x?3?0?x1?1,x2??1
x、f??x?、f(x)的变化情况如下表
x f??x? f(x)???,?1? ＋ －1 （－1，1） － 1 ??1,??? 0 0 ＋ 极大值 极小值 ∴f(x)的单调递增区间是???,?1?和?1,??? f(x)的单调递减区间是??1,1?
当x??1时，f?x?有极大值f??1????1??3???1??a?a?2 当x?1时，f?x?有极小值f?1??13?3?1?a?a?2
3?a?2?0要使f(x)有一个零点，需且只需?，解得a??2
a?2?0?
?a?2?0要使f(x)有二个零点，需且只需?，解得a??2
?a?2?0?a?2?0要使f(x)有三个零点，需且只需?，解得?2?a?2
?a?2?0
变式五、已知函数f?x??x3?3x,a?0，如果过点A?a,2?可作曲线y?f?x?的
三条切线，求a的取值范围
解：设切点为?x0,y0?，则f??x??3x2?3
23?3?x?2x0∴切线方程y?y0?f??x0??x?x0? 即 y??3x0 23?3?a?2x0∵切线过点A?a,2? ∴2??3x0
32即 2x0?3ax0?3a?2?0???
∵过点A?a,2?可作y?f?x?的三条切线 ∴方程???有三个相异的实数根
322设g?x0??2x0?3ax0?3a?2，则g??x0??6x0?6ax0?6x0?x0?a?
当x0变化时，g??x0?、g?x0?的变化情况如下表
x0
???,0?
＋
0 0 极大值
3a?2
?0,a?
－
a 0 极小值
?a3?3a?2
?a,???
＋
g??x0? g?x0?
由单调性知：①若极大值3a?2?0或极小值?a3?3a?2?0，方程g?x0??0只有一个实数根；②若3a?2?0或?a3?3a?2?0，方程g?x0??0只有两个相异的实数根，综上，要使方程g?x0??0有三个相异的实根，须且只须
2??3a?2?0a???所以，所求的a的取值范围是?2,???。 ??3?a?2，?3??a?3a?2?0??a?2变式六、已知函数f?x??13x?x2?ax?a ?a?R?，若函数f?x?的图象与x轴3有且只有一个交点，求a的取值范围。
解：∵f??x??x2?2x?a ∴??4?4a?4?1?a? ①若a?1，则??0
∴f??x??0在R上恒成立 ∴f?x?在R上单调递增 ∵f?0???a?0 f?3??2 a?0 ∴当a?1时，函数f?x?的图象与x有且只有一个交点。 ②若a?1，则??0
?x1?x2?2? ∴f?x??0有两个不相等的实根，不妨设为x1、 则? x2且x1?x2，
xx?a?12 当x变化时，f??x?、f?x?的取值变化情况如下表
x f??x? f?x? ???,x1? ＋ x1 0 极大值 ?x1,x2? － x2 0 极小值 ?x2,??? ＋ f?x1? f?x2? ∵x12?2x1?a?0 ∴a??x12?2x1
11∴f?x1??x13?x12?ax1?a?x13?x12?ax1?x12?2x1
33112x?3?a?2?? ?x13??a?2?x1 ?x1?1? 33?12x2?3?a?2?? 同理 f?x2??x2??? 3122??x?3a?2x?3?a?2?? ∴f?x1??f?x2??x1x2? ??12????91222? ?9a?2 ?x1x2??x1x2??3?a?2??x12?x2?????9122 ?a?a2?3?a?2???x1?x2??2x1x2??9?a?2?
??9??2?44??33?2 ?a?a?3a?3??a??a????
99?2?4???? 令f?x1??f?x2??0，解得a?0
当0?a?1时，f?0???a?0，f?3??2a?0 ∴当0?a?1时，函数f?x?的图象与x轴 有且只有一个交点
∴f?x?的大致图象如图所示： 综上所述，a的取值范围是?0,???－a x2 x1 3 x y y=f(x)