《线性代数》模拟试卷（六）
一、填空题（每题3分，共15分）：
1． 有一个n阶行列式（n≥3），它的主对角线上的元素都是非零常数a，第1行第n列
的元素为1，第n行第1列的元素也为1，其余元素皆为0。这个行列式等于________________。 2． 设A为3阶方阵，|A|??1，则｜A－1－2A*｜＝________________。
23． 已知向量组α1，α2，α3线性无关，且α1+α2，α2+α3，α3+λα1线性相关，则λ
=________。
4． 三阶零矩阵的全部特征向量是________________________。
5． 设2阶方阵A的特征值为λ1＝－1，λ2＝2，则3A的特征值为________________，
A*的特征值为________________，A2－3A＋4I的特征值为________________。
二、选择题（每题3分，共15分；每题有且仅有一个正确选项）： 1. 设A与B皆为n阶方阵，AB＝O，但A≠O，则________。 （A）B＝O； （B）|B|＝0或|A|＝0； （C）BA＝O； （D）(A–B)2＝A2＋B2。
2. 若方阵A与B相似，则以下________是错误的：
（A）A与B有相同的特征值； （B）A与B一定都与一个对角矩阵相似； （C）存在可逆矩阵M，满足MB＝AM； （D）｜λI–A｜=｜λI–B｜。 3. 下列矩阵中，________为正定矩阵。
?230??6?34??121??1?20?????????（A）?351? （B）??312? （C）?241? （D）??250?
?010??4?415??021?09?????????4.
下列说法中正确的是________。
（A）矩阵的行向量组与列向量组一定是相互等价的。
（B）若向量组α1，α2，…αm线性相关，则它的任一部分组也线性相关。
（C）若向量组α1，α2，…αm线性无关，则其中任意一个向量都不能由其余
向量线性表示。
（D）若向量组α1，α2，…αm线性相关，则一定存在全不为零的常数
k1，k2，… ，km，使得：k1α1 + k2α2 + … +kmαm＝0。
5. 设Ax＝b是个非齐次线性方程组，其系数矩阵A为3×4矩阵，且A的行向量组线性无关，则下列说法中正确的是________。
（A）A的列向量组线性无关；（B）此方程组增广矩阵的行向量组线性无关；
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（C）此方程组的解是唯一的；（D）此方程组增广矩阵的任意四个列向量线性无关。 三、计算题：
a1． （10分）计算行列式：ba2b2c2a3?axb3?bx。
c3?cxc
2． （10分）求以下向量组的秩与一个极大线性无关组：
α1＝（1,3,6,2）,α2＝（2,1,2,﹣1）,α3＝（3,5,10,2）,α4＝（﹣2,1,2,3）。
?00?4??3?????3． （12分）已知AX＋b＝X，其中A???2?1?7?，b??6?，求矩阵X。
?0?13??12???????2x1?x2?x3??2?4． （14分）对于非齐次线性方程组?x1?2x2?x3??，讨论其何时有解，
2?x?1?x2?2x3??何时无解?在有解时，求出其通解。
5． （8分）设二次型
222f?x1?x2?x3?2?x1x2?2?x2x3?2x1x3经过正交
f?y2?2y3，试求α、β。
22变换X=PY化为标准形
四、证明题：
1、（8分）设方阵A满足A2?A?2I?0，证明：A及A?2I都可逆， 并求A及（A?2I）。?1?1
2．（8分）设A是m×n矩阵，R(A)＝n－1；非齐次线性方程组AX=b有两个不同解η
与η2，它对应的齐次线性方程组AX=0有一个非零解ξ。证明：向量组ξ，η1，η
2线性相关。
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