§ 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题
自学引导
1.通过实例分析，了解平均变化率的实际意义．
2．会求给定函数在某个区间上的平均变化率. 课前热身
Δy1.函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为＝________.
ΔxΔy 2．平均变化率另一种表示形式：设Δx＝x－x0，则＝________，表示函
Δx数y＝f(x)从x0到x的平均变化率.
答 案 f?x2?－f?x1?1. x2－x12.f?x0＋Δx?－f?x0? Δx
名师讲解
1.如何理解Δx，Δy的含义
Δx表示自变量x的改变量，即Δx＝x2－x1；Δy表示函数值的改变量，即Δy＝f(x2)－f(x1)．
2．求平均变化率的步骤
求函数y＝f(x)在[x1，x2]内的平均变化率． (1)先计算函数的增量Δy＝f(x2)－f(x1)． (2)计算自变量的增量Δx＝x2－x1.
Δyf?x2?－f?x1?
(3)得平均变化率＝.
Δxx2－x1
对平均变化率的认识
函数的平均变化率可以表现出函数在某段区间上的变化趋势，且区间长度越小，表现得越精确．如函数y＝sinx在区间[0，π]上的平均变化率为0，而在
π
sin－sin0
2π2
[0，]上的平均变化率为＝.
2ππ
－02
在平均变化率的意义中，f(x2)－f(x1)的值可正、可负，也可以为零．但Δx＝x2－x1≠0.
1
典例剖析
题型一 求函数的平均变化率
例1 一物体做直线运动，其路程与时间t的关系是S＝3t－t2. (1)求此物体的初速度；
(2)求t＝0到t＝1的平均速度．
分析 t＝0时的速度即为初速度，求平均速度先求路程的改变量ΔS＝S(1)
ΔS－S(0)，再求时间改变量Δt＝1－0＝1.求商就可以得到平均速度．
ΔtS3t－t2
解 (1)由于v＝＝＝3－t.
tt∴当t＝0时，v0＝3，即为初速度． (2)ΔS＝S(1)－S(0)＝3×1－12－0＝2 Δt＝1－0＝1
ΔS2
∴v＝＝＝2.
Δt1
∴从t＝0到t＝1的平均速度为2.
误区警示 本题?1?不要认为t＝0时，S＝0.所以初速度是零.
变式训练1 已知函数f(x)＝－x2＋x的图像上一点(－1，－2)及邻近一点
Δy(－1＋Δx，－2＋Δy)，则＝( )
ΔxA．3 B．3Δx－(Δx)2 C．3－(Δx)2 D．3－Δx
解析 Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1) ＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－(－2) ＝－(Δx)2＋3Δx.
Δy－?Δx?2＋3Δx∴＝＝－Δx＋3 ΔxΔx 答案 D
题型二 平均变化率的快慢比较
πππ
例2 求正弦函数y＝sinx在0到之间及到之间的平均变化率．并比
632
较大小．
分析 用平均变化率的定义求出两个区间上的平均变化率，再比较大小．
π
解 设y＝sinx在0到之间的变化率为k1，则
6
2
π
－sin063
k1＝＝. ππ－06
ππ
y＝sinx在到之间的平均变化率为k2，
32
sinsin
则k2＝
ππ3－sin1－2323?2－3?
＝＝. ππππ－236
33?2－3?3?3－1?
∵k1－k2＝－＝>0，
πππ
∴k1>k2.
π3ππ
答：函数y＝sinx在0到之间的平均变化率为，在到之间的平均变6π323?2－3?33?2－3?
化率为，且>. πππ
变式训练2 试比较余弦函数y＝cosx在0到化率的大小．
π
cos3－cos0
π
解 设函数y＝cosx在0到3之间的平均变化率是k1，则k1＝π＝－3－032π.
ππ
函数y＝cosx在3到2之间的平均变化率是k2，
ππ－cos233
则k2＝＝－.
πππ－23333
∵k1－k2＝－－(－)＝>0，
2ππ2π
∴k1>k2.
πππ
∴函数y＝cosx在0到之间的平均变化率大于在到之间的平均变化
332
率．
题型三 平均变化率的应用
例3 已知一物体的运动方程为s(t)＝t2＋2t＋3，求物体在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的平均速度．
cos
πππ
之间和到之间的平均变332
3
Δs分析 由物体运动方程―→写出位移变化量Δs―→ Δt 解 物体在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的位移增量 Δs＝s(1＋Δt)－s(1)
＝[(1＋Δt)2＋2(1＋Δt)＋3]－(12＋2×1＋3) ＝(Δt)2＋4Δt.
物体在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的平均速度为
2
Δs?Δt?＋4Δt
＝4＋Δt.
Δt＝Δt
变式训练3 一质点作匀速直线运动，其位移s与时间t的关系为s(t)＝t2＋1，该质点在[2,2＋Δt](Δt>0)上的平均速度不大于5，求Δt的取值范围．
解 质点在[2,2＋Δt]上的平均速度为
s?2＋Δt?－s?2?－v＝
Δt[?2＋Δt?2＋1]－?22＋1?＝
Δt4Δt＋?Δt?2＝＝4＋Δt.
Δt又－v≤5，∴4＋Δt≤5.
∴Δt≤1，又Δt>0，
∴Δt的取值范围为(0,1]. § 1.1 函数的单调性与极值 1.1.2 导数的概念
自学引导
1.经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念建立的一些实际背景．
2．了解瞬时变化率的含义，知道瞬时变化率就是导数．
3．掌握函数f(x)在某一点x0处的导数定义，并且会用导数的定义求一些简单函数在某一点x0处的导数.
4
课前热身
1.瞬时速度．
设物体的运动方程为S＝S(t)，如果一个物体在时刻t0时位于S(t0)，在时刻t0＋Δt这段时间内，物体的位置增量是ΔS＝S(t0＋Δt)－S(t0)．那么位置增量ΔS与时间增量Δt的比，就是这段时间内物体的________，即v＝
S?t0＋Δt?－S?t0?
.
Δt 当这段时间很短，即Δt很小时，这个平均速度就接近时刻t0的速度．Δ
t越小，v就越接近于时刻t0的速度，当Δt→0时，这个平均速度的极限v＝lim
Δt→0
ΔSS?t0＋Δt?－S?t0?＝lim 就是物体在时刻t0的速度即为________． ΔtΔtΔt→0
2．导数的概念．
设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx无限趋近0时，Δyf?x0＋Δx?－f?x0?比值＝无限趋近于一个常数A，这个常数A就是函数
ΔxΔxf(x)在点x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0.用符号语言表达为f′(x0)
Δy＝lim ＝________
ΔxΔx→0
答 案 1.平均速度 瞬时速度 f?x0＋Δx?－f?x0?2.lim ΔxΔx→0
名师讲解
1.求瞬时速度的步骤
(1)求位移增量ΔS＝S(t＋Δt)－S(t)；
ΔS(2)求平均速度v＝；
ΔtΔSS?t＋Δt?－S?t?
(3)求极限lim ＝lim ；
ΔtΔtΔt→0
Δt→0
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