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此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。 课后提升作业 十七 抛物线方程及性质的应用 (45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2016〃大理高二检测)过点(0,1)且与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线有 ( ) A.1条
B.2条
C.3条
D.0条
【解析】选C.易知过点(0,1),斜率不存在的直线为x=0,满足与抛物线y2=4x只有一个公共点.当斜率存在时,设直线方程为y=kx+1,再与y2=4x联立整理得
k2x2+(2k-4)x+1=0,当k=0时,方程是一次方程,有一个解,满足一个交点;当k≠0时,由Δ=0可得k值有一个,即有一个公共点,所以满足题意的直线有3条. 2.抛物线y2=3x关于直线y=x对称的抛物线方程为 ( ) A.y2=x C.x=y
2
B.x2=3y D.y=3x
2
【解题指南】利用点(x,y)关于y=x的对称点为(y,x)进行求解.
【解析】选B.因为点(x,y)关于y=x的对称点为(y,x),所以y2=3x关于y=x对称的抛物线方程为x2=3y.
3.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是 ( ) A.
B.
C.
D.3
【解析】选A.设抛物线y=-x2上一点为(m,-m2),该点到直线4x+3y-8=0的距离为
,当m=时,取得最小值为.
【一题多解】选A.设与4x+3y-8=0平行的直线l方程为:4x+3y+m=0, 由
消去y得,3x2-4x-m=0,
由Δ=0得,16+12m=0,解得m=-. 所以l的方程为4x+3y-=0.
因此抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是d==.
4.(2016〃成都高二检测)抛物线y2=4x的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,当△FPM为等边三角形时,其面积为 ( ) A.2
B.4
C.6
D.4
【解析】选D.根据题意知,△FPM为等边三角形, |PF|=|PM|=|FM|,所以PM⊥抛物线的准线. 设P
,则M(-1,m),
,
=
,
等边三角形边长为1+
又由F(1,0),|PM|=|FM|,得1+得m=2
,
所以等边三角形的边长为4,其面积为4.
5.(2015〃全国卷Ⅰ)已知椭圆E的中心为坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,点A,B是C的准线与E的两个交点,则A.3
B.6
C.9
D.12 =1(a>b>0),
= ( )
【解析】选B.设椭圆E的方程为+右焦点为(c,0),依题意得由b2=a2-c2=16-4=12, 所以椭圆E的方程为
+=1,
解得a=4,
因为抛物线C:y2=8x的准线为x=-2, 将x=-2代入到
+
=1,
=6.
解得A(-2,3),B(-2,-3),故
6.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为 ( ) A.x=1 C.x=2
B.x=-1 D.x=-2
【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得:得,
(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2). 又因为y1+y2=4,所以
=
==k=1,所以p=2.
①-②
所以所求抛物线的准线方程为x=-1.
7.(2016〃兰州高二检测)斜率为1,过抛物线y=x2的焦点的直线被抛物线所截得的弦长为 ( ) A.8
B.6
C.4
D.10
【解析】选A.设弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2), 易知直线方程为y=x+1,
直线方程与抛物线方程联立,消元得:x2-x-1=0, 所以x1+x2=4,x1x2=-4, 所以弦长l=
=8.
8.(2016〃商丘高二检测)已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB,则AB的中点到x轴的最短距离为 ( ) A.
B.
C.1
D.2
【解析】选D.由题意知,抛物线的准线l:y=-1, 过A作AA1⊥l于A1,过B作BB1⊥l于B1, 设弦AB的中点为M,过M作MM1⊥l于M1, 则|MM1|=
.
|AB|≤|AF|+|BF|(F为抛物线的焦点), 即|AF|+|BF|≥6,|AA1|+|BB1|≥6, 2|MM1|≥6,|MM1|≥3, 故M到x轴的距离d≥2. 【拓展延伸】“两看两想”的应用
与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.
【补偿训练】已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ( )