若令：
则式(4-36)变为:
式(m)反映了球应力与体积应变的比例关系，式中K称为体积弹性模量，再由式(4 - 29)得:
又应用式(4-36)，并加以整理得：
显然式((n)方括号项为零，子是得：
式(p)表明应力偏量与应变偏量成正比。我们注意到第一偏应力不变量，J1=Sij=0，因此式(p)中只有5个方程是独立的，必须与式(m)联立，才构成与广义虎克定律式(4-28）或式(4-33)等价的应力应变关系式。于是，关于各向同性体的用球应力和偏应力表示的广义虎克定律为：
若从式(4-30)和式(4-32)求出μ和E，则可得：
根据材料力学实验知：
于是由式(4-34)得到Uo>0。这表明，对于各向同性材料，应变能函数Uo恒为正值。
例4-1将一橡皮方块放入与它等体积的铁盒内，在上面用铁盖封闭，使铁盖承受均匀压力p，如图4-l0所示。假设把铁盖和铁盒视为刚体，且不计橡皮与铁之间的摩擦。试求：
(1)铁盒内侧面所受的压力q以及橡皮块的体积应变θ；
（2)若将橡皮换成刚体或不可压缩体时，其体积应变将有什么变化。
解：取xyz坐标系的z方向与压力p方向一致，则有：
因εx=εy=0，故得到侧向压力q为：
体积应变为：
当换成刚体时，E→∞，因此θ = 0；当换成不可压缩体时，μ=1/2，因此，θ = 0。
§4-4屈服函数·主应力空间·常用屈服条件
4-4-1屈服函数与应力空间
由本章中关于材料弹性变形和塑性变形的讨论及其特点的总结可看出，塑性应力应变关系比弹性应力应变关系要复杂得多。并且我们必须要做的一项工作就是首先要判断材料是处于弹性状态还是已经进人到塑性状态，而进行这一判断所依据的准则，就称为屈服条件，又称塑性条件。当材料处于单向拉伸(或压缩)应力状态时，我们通过简单的试验〔如图4-1所示)就可使这一问题容易地得到解决：当应力小于屈服极限ζs时，材料处于弹性状态，当达到屈服极限ζs时，便认为材料已进人塑性状态。即便是对那些应力应变曲线上弹塑性分界不明显的材料，通常将对应于塑性应变为εs=0.2%时的应力ζ0.2作为屈服极限来判明，如图4-11所示。但是，当材料一旦处于复杂应力状态时，问题就不那么简单了。因为一点的应力状态通常是由六个应力分量所共同确定，因而不能简单地选择其中
某一个应力分量的数值来作为判断材料是否进人塑性状态的标准，而是应该考虑到所有这些应力分量对材料进入塑性状态的贡献。当然，也不能采用只根据不同的应力状态进行试验的方法来确定材料的屈服条件。因为要进行次数如此可观的实验是不切实际的，并且所需实验设备和实验方法也较复杂，甚至是目前根本做不到的。那么在复杂应力状态下材料的屈服条件如何确立呢？
人们根据材料破坏的现象，总结材料破坏的规律，逐渐认识到：不管固体材料产生断裂或塑性屈服的表面现象多么复杂，对应某种破坏形式都具有共同的某一决定强度的因素。对于同一种材料，无论它处于何种应力状态，当导致它产生某种破坏的这一共同的因素达到某一个极限值时，材料就会产生相应的破坏。因此。我们可以通过材料的简单力学试验来确定这个因素的极限值。现在的问题就是考虑根据简单受力状态的试验结果去建立同复杂应力状态下所有的应力分量都相关的关系，也即屈服条件。
在一般情况下，屈服条件与所考虑的应力状态有关，或者说，屈服条件是该点六个独立的应力分量的函数，即为：
f（ζij）称为屈服函数。式(4-40)表示在一个六维应力空间内的超曲面。所谓六维应力空间是以六个应力分量ζx，ζy，?的全体所构成的抽象空间。因为由六个应力分量组成，所以称它为六维应力空间。空间内的任一点都代表一个确定的应力状态。.f（ζij）是这个空间内的一个曲面。因为它不同于普通的几何空间内的曲面，所以称为超曲面。该曲面上的任意一点（称为应力点）都表示一个屈服应力状态，所以又称屈服面。例如，在单向拉伸时，屈服应力ζs应在屈服面上，如用六维应力空间来描述，则该点应为超曲面上的一个点，且该点坐标为(ζs，0,0,0,0,0）
①
对于各向同性材料来说，坐标轴的转动不应当影响材料的屈服。而一点的应力状态可用该点的主单元体来表示，因此可以取三个应力主轴为坐标轴。此时，屈服函数式((4-40)可改写为：
前面曾经谈到，球形应力状态只引起弹性体积变化，而不影响材料的屈服。所以。可以认为屈服函数中只包含应力偏量，即；
这样一来，屈服函数就转化为用应力偏量表示的函数，而且可以在主应力ζ1、ζ2、ζ3所构成的空间，即主应力空间来讨论。主应力空间是一个三维空间，物体中任意一点的应力状态都可以用主应力空间中相应点的坐标矢量来表示，如图4-12所示。因此，我们在这一主应力空间内可以形象地给出屈服函数的几何图象，而直观的几何图形将有助于我们对屈服面的认识。
需要说明，在静水压力不太大的情况下，静水压力不影响材料的塑性性质这一假设，对许多金属材料和饱和土质是适用的，但对于岩土一类材料，这一假定并不符合实际.这时就应对式(4-42)进行相应的修正。
下面介绍几种特殊的应力状态在主应力空间中的轨迹： 1球应力状态或静水应力状态 关于球应力状态，应力偏量为零。即S1=S2=S3=0，且ζ1=ζ2=ζ3=ζm。显然在主应力空间中，它的轨迹是经过坐标原点并与ζ1、ζ2、ζ3三坐标轴夹角相同的等倾斜直线On，如图4-12所示，其方向余弦为l1=l2=l3=1/√3。On直线的方程式为：
On直线上各点所对应的应力状态是取不同的ζm值的球应力状态。 2平均应力为零
平均应力为零，即ζm= 0，应力偏量Sij不等于零。在主应力空间中，它的轨迹是一个平面，该平面通过坐标原点并与On直线相垂直，也即过原点与坐标平面成等倾斜的平面，我们称它为π平面〔图4-12）。其方程式为；
设在主应力空间中。任一点的坐标矢量用上的分量
和在π平面上的一个分量(即相当于
来表示，如图4-12所示，它可以分解为在直线On方向）这就等于把应力张量ζij分解为球应力张量
，
和偏应力张量Sij。如果我们所研究的问题希望排除球张量而着重考虑偏张量，那么在主应力空间中，我们只濡要分析应力矢量在，平面上的投影就可以了。
3应力偏量为常量
应力偏量为常量，即S1=C1，S2=C2，S3=C3，(C1、C2、C3为常数)。这时，ζ1-C1=ζ2-C2 =ζ3-C3=ζm，它在主应力空间中的轨迹是与On线平行但不经过坐标原点的直线L，如图4-13所示。其方程为；
或写为：
式（d）中即：
，
。显然，直线L上各点对应的应力状态具有相同的偏张量，
4平均应力为常量 平均应力为常量，即
(C为常量)。其在主应力空间的轨迹为一个与On直线正交
但不通过坐标原点的平面。显然该平面与π平面平行。其方程为：
式（f）中的d为该平面与π平面间的距离。显然，该平面上的各点所对应的应力状态具有相同的球张量。
我们知道。当应力ζij较小时.材料处于弹性状态。这就是说，在主应力空间中，围绕着坐标原点有一个弹性变形区域。在这个区域内，应力的无限小增量dζij不会引起塑性变形。当应力增大到一定程度，材料便进人了塑性状态，这时应力的增量dζij就将引起塑性变形(或使塑性变形发生变化)。因此，我们可以设想：在主应力空间中，坐标原点附近的弹性区是被塑性区包围着的，若仅从π平面上来看，弹性区与塑性
区的分界为一条曲线，而在主应力空间中，弹性区与塑性区的分界则为一曲面，该曲面就称为屈服面。它是屈服条件式(4-41)在主应力空间中的轨迹。屈服面的概念是拉伸〔或压缩)应力应变曲线的屈服极限概念的推广。
若我们认为球应力〔静水压力)状态不影响材料的屈服，则上述屈服面必定是一个与坐标轴呈等倾斜的柱体表面，其母线垂直于π平面。显然我们对屈服面的讨论只需研究它与π平面的截迹C就可以了，如图4-14所示。曲线C就称为屈服曲线或屈服轨迹。 屈服曲线在π平面内有下列重要性质：
（1）屈服曲线是一条封闭曲线。并且坐标原点被包围在内。容易理解，坐标原点是一个无应力状态，材料不可能在无应力状态下屈服，所以屈服曲线必定不过坐标原点。同时，初始屈服面内是弹性状态，所以屈服曲线必定是封闭的，否则将出现在某种应力状态下材料不屈服的情况，这是不可能的。
（2）屈服曲线与任一从坐标原点出发的向径必相交一次，且仅有一次。在只讨论初始屈服的条件下，材料既然在一种应力状态下达到屈服，就不可能又在与同一应力状态相差若千倍的另一应力状态下再次达到屈服。初始屈服只有一次。
（3）屈服曲线对三个坐标轴的正负方向均为对称。因为材料认为是各向同性的，所以如果（ζ1、ζ2、ζ3）是屈服时的应力状态，那么(ζ1、ζ2、ζ3)必定也是屈服时的应力状态。这就表明，屈服轨迹应当对称于Ⅰ轴(即坐标轴Ⅰ在π平面上的投影)。同样道理，轨迹C也对称于Ⅱ轴和Ⅲ轴，如图4-15所示。这里需要指出的是图4-15所示仅表示理论曲线，未考虑其外凸性。由于我们假定当应力分量改变符号时，屈服函数f（ζij）的值保持不变，即f（ζij）=f（-ζij），所以，如果我们从屈服轨迹上任一点引一条过原点的线段(表示应力按比例卸载，并按同样的比例向反方向加载)，那末它必定在对称于原点的那一点处与轨迹C相交。由此可见，轨迹C不仅对称于轴Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，而且还对称于与它们垂直的三条直径，如图4-15中虚线所示。这就是说，由这六条线段所分割的12个30°幅角中，轨迹的形状是相同的，因此，我们只需要考虑其中任一幅角里的应力矢量就可以了。
（4）屈服曲线对坐标原点为外凸曲线，屈服面为外凸曲面。可以证明，屈服曲线必定是外凸
的(殷绥域，1990)，这就意味着在π平面内任何一根直线至多与屈服曲线相交于两点(除非该直线本身就是屈服轨迹C上的一部分)。
下面再讨论一下屈服曲线的可能位置。
为不失一般性，可以假设轨迹C通过Ⅲ轴上的A点，如图4-16所示。那么，根据上面讨论过的对称条件，可知B、F点(它们分别在Ⅰ、Ⅱ轴上，且
)同样也是轨迹C上的两个点，而且连接