2.6 直角三角形(二)
A组
1．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是(D) A． ∠A＋∠B＝∠C B． ∠A＝2∠B＝2∠C
C． ∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 D． ∠A＝∠B＝3∠C
2．已知一个三角形的其中一个角等于另两个角的差，则这个三角形一定是直角三角形．
(第3题)
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，交BC的延长线于点F．若∠F＝30°，DE＝1，则BE的长是__2__．
4．等腰三角形一腰上的高线等于这条腰的一半，则这个等腰三角形的顶角的度数为30°或150°．
5．在△ABC中，2∠B＝∠A＋∠C，最小角∠A＝30°，最长边的中线为8 cm，则最短边的长为__8__cm．
6．直角三角形斜边上的高线长与中线长分别为5 cm和6 cm，则它的面积为__30__cm2．
7．如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A＝∠C．求证：△ABD是直角三角形．
(第7题)
【解】 ∵CE⊥AD， ∴∠CED＝90°， ∴∠C＋∠D＝90°． 又∵∠A＝∠C， ∴∠A＋∠D＝90°，
∴△ABD是直角三角形．
8．如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P．求证：△PEF是直角三角形．
(第8题)
【解】 ∵AB∥CD，
∴∠BEF＋∠DFE＝180°．
∵∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P， 11
∴∠PEF＝2∠BEF，∠PFE＝2∠DFE， 1
∴∠PEF＋∠PFE＝2(∠BEF＋∠DFE)＝90°． ∴△PEF是直角三角形．
B组
(第9题)
9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，AE平分∠BAC交BC于点E，D为AB的中点，连结DE，则△BDE的周长是__10__．
【解】 ∵AB＝AC，AE平分∠BAC， ∴AE垂直平分BC． ∵BC＝8，∴BE＝4． ∵D是AB的中点，
1
∴AD＝BD＝DE＝2AB＝3．
∴C△BDE＝BD＋DE＋BE＝3＋3＋4＝10．
(第10题)
10．如图，在等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC边上的两动点，且总使FG1AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则AF＝__2__．
【解】 ∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠ACB＝60°．
∵AD＝BE，∴CE＝BD． 在△ACE和△CBD中，
?AC＝CB，
∵?∠ACE＝∠B， ?CE＝BD，
∴△ACE≌△CBD(SAS)．∴∠CAE＝∠BCD．
∴∠AFG＝∠CAF＋∠ACF＝∠BCD＋∠ACF＝∠ACB＝60°．
FG1
∵AG⊥CD，∴∠FAG＝30°．∴AF＝2．
(第11题)
11．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是对角线AC，BD的中点，连结MN．
(1)试猜想MN与BD的位置关系，并证明你的结论． (2)如果∠BCD＝45°，BD＝2，求MN的长． 【解】 (1)MN⊥BD．证明如下： 连结BM，DM． ∵∠ADC＝90°，M是AC的中点， ∴AC＝2DM＝2CM．
同理，AC＝2BM＝2CM，∴BM＝DM． ∵N是BD的中点，∴MN⊥BD． (2)由(1)，得BM＝CM，DM＝CM，
∴∠BCM＝∠CBM，∠DCM＝∠CDM． ∵∠AMB是△BCM的一个外角，
∴∠AMB＝∠BCM＋∠CBM＝2∠BCM． 同理，∠AMD＝2∠DCM． ∵∠BCD＝45°，∴∠BCM＋∠DCM＝45°．
∴∠BMD＝∠AMB＋∠AMD＝2(∠BCM＋∠DCM)＝90°．∴△BMD是直角三角形．
1
∵N是BD的中点，BD＝2，∴MN＝BD＝1．
212．如图，AD，BF分别是△ABC的高线与角平分线，BF，AD交于点E，∠1＝∠2．求证：△ABC是直角三角形．
(第12题)
【解】 ∵BF是△ABC的角平分线， ∴∠ABF＝∠CBF．
∵AD是△ABC的高线， ∴∠ADB＝90°，
∴∠CBF＋∠BED＝90°．
∵∠1＝∠2＝∠BED，∴∠ABF＋∠2＝90°， ∴∠BAC＝90°，∴△ABC是直角三角形．
(第13题)
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC的中点，CE⊥AD于点E，BF∥AC交CE的延长线于点F，连结DF．求证：AB垂直平分DF．
【解】 ∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∠CAD＋∠CDE＝90°． ∵CE⊥AD，∴∠CED＝90°． ∴∠CDE＋∠DCE＝90°．
∴∠CAD＝∠DCE，即∠CAD＝∠BCF． ∵BF∥AC，∴∠CBF＋∠ACB＝180°， ∴∠CBF＝180°－∠ACB＝90°． ∴∠CBF＝∠ACD．
?∠ACD＝∠CBF，
在△ACD和△CBF中，∵?AC＝CB，
?∠CAD＝∠BCF，
∴△ACD≌△CBF(ASA)． ∴CD＝BF．
∵D为BC的中点，
∴CD＝BD，∴BD＝BF． ∵BF∥AC，
∴∠ABF＝∠CAB＝∠DBA＝45°． ∴AB垂直平分DF．
数学乐园
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，CD平分∠ACB，点E在AC上，且AE＝AD，EF⊥CD交BC于点F，交CD于点O．求证：BF＝2AD．
(第14题)