存款 二年国库 三年国库 五年国库 52.10040 98.14811 794.3490 0 27.02821 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 51.90004 0 0 0 27.02821 0 25.38596 25.38596 889.6902 0 0 第二种情况国库券没在准备存钱的时候发行，为充分的利用资金，不让资金闲置，有以下解决方案：
以两年期国库券为例：由于年初存款时不能购买国库券，就将已确定购买国库券的资金全部用于半年期存款，如果在上半年发行国库券，就将本来购买国库券的资金全部取出购买国库券，在国库券到期的那年再将国库券所获得的本金和利息用于定期的半年期存款，到期后再将本金和利息用于半年期活期存款，年末将其取出用于发放奖金。如果在下半年发行国库券就在上半年初定期半年，到期后转存活期，国库券发行后取出购买国库券，国库券到期后继续存活期，由于先存定期与先存活期利率相同。因此两年期国库券的运转周期为3年。也就是说在这3年里总有两年用于国库券，半年用于半年期存款，半年用于半年活期存款，即采用了活期，半年期 ，国库券的“组合式”投资。同理，三年期国库券和五年期国库券的运转周期为四年、六年。则计算，三、四、六的周期运转利率如下列各式：
11p1?(1?2r1)(1?r0?)(1?r1?)?1.063942211p2?(1?3r2)(1?r0?)(1?r1?)?1.10008
2211p3?(1?5r5)(1?r0?)(1?r1?)?1.1712522根据以上分析在每年年初可以选择的存钱方式有一年期、二年期、三年期、五年期和三年、四年、五年国库券、活期、半年期的“组合式”投资方式。
根据以上情况列出线性方程组如下： x11?x12?x13?x15?y13?y14?y16?M;x21?x22?x23?x25?y23?y24?y26?x11(1?r1)?z;x31?x32?x33?x35?y33?y34?y36?x12(1?2r2)?x21(1?r1)?y13p1?z;x41?x42?x43?x45?y43?y44?y46?x13(1?3r3)?x22(1?2r2)?x31(1?r1)?y14p2?y23p1?z;x51?x52?x53?x55?y53?y54?y56?x23(1?3r3)?x32(1?2r2)?x41(1?r1)?y24p2?y33p1?z;x61?x62?x63?x65?y63?y64?x15(1?5r5)?x33(1?3r3)?x42(1?2r2)?x51(1?r1)?y16p3?y34p2?y43p1?z; x71?x72?x73?y73?y74?x25(1?5r5)?x43(1?3r3)?x52(1?2r2)?x61(1?r1)?y26p3?y44p2?y53p1?z;x81?x82?x83?y83?x35(1?5r5)?x53(1?3r3)?x62(1?2r2)?x71(1?r1)?y36p3?y54p2?y63p1?z;x91?x92?x45(1?5r5)?x63(1?3r3)?x72(1?2r2)?x81(1?r1)?y46p3?y64p2?y73p1?z;x101?x55(1?5r5)?x73(1?3r3)?x82(1?2r2)?x91(1?r1)?y56p3?y74p2?y83p1?z;M?x65(1?5r5)?x83(1?3r3)?x92(1?2r2)?x101(1?r1)?z.根据以上线性方程组解得在此种情况下的奖金：
6
Z=25.50443(万元)
表3：每年年初资金处理方式 一年存款 二年存款 三年存款 五年存款 二年国债 三年国库 五年国库 第一年 69.21806 45.51038 44.40254 0 0 第二年 0 0 0 0 0 第三年 0 0 0 0 0 0 第四年 0 0 0 0 0 0 第五年 0 0 0 0 0 0 第第第第第六七八九十年 年 年 年 年 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 819.0936 23.18416 21.77539 21.77539 21.77539 21.77539 875.5641 0 0 0 0 0 三、将情况二特殊化，即国库券的发行时间为年中，这样就不存在将半年期改为活期存款的情况，也就是说将问题三转化为半年期、半年期、国库券的“组合式”投资同样的解释方法，可以把购买国库券的运行周期分为三、四、六的运行模式。在这种情况下计算出购买国库券情况的利率如下：
p1?(1?2r1)(1?r1/2)2?1.06856p2?(1?3r2)(1?r1/2)2?1.10486
p3?(1?5r5)(1?r1/)2?1.17633第三种线性方程组的表示方法与第二种情况的方程组一样，根据题意解出线性方程组。则可以的出计算结果如下：
Z=26.37202(万元)
则根据线性方程组解得，第一年年初的时候存一年期存款为71.37527万元、两年期存款46.96492万元、第一年购买两年期国库券45.66044万元、购买三年期国债813.5805万元，购买五年国库券22.41890万元。第二年购买三年国库券为23.86911万元、五年国库券22.41890万元。第三年购买的五年国库券为22.41890万元。第四年购买的五年国库券为22.41890万元。第五年购买的五年国库券为872.5205万元。 5.3、问题三模型的建立与求解
在问题三中学校在第六年举行百年校庆，基金会为了鼓舞师生希望在第六年发放的奖金比其他年份多20%。解决这个问题可以通过对前两个问题分析，在第六年时题目没有说明只存款还是即可以存款还可以购买国库券，所以解决这个问题要分为两种情况。
5.3.1、模型的建立与求解
7
在只用来存款时可以借鉴问题一的模型只是把第六年的奖金变为原来的1.2倍，列出第六年奖金的发放情况如下所示：
X71+x72+x73=x25(1+5r5)+x43(1+3r3)+x52(1+2r2)+x61(1+r1)-1.2z
可以将问题一中第六年奖金的情况进行变换如上式所示，建立如问题一的线性规划模型。解得方程组如下所示：
Z=21.53805(万元)
线性方程组中解得的每年年初的存款方式为。第一年年初时存一年期存款43.92324万元、二年期存款20.73199万元,五年期存款为859.2928。第二年年初存五年期存款为23.17581(万元), 第四年年初存一年期存款为40.12890(万元),五年期存款为19.31317(万元), 第五年年初时存五年期存款19.31317(万元),第六年年初时存二年期存款20.73199(万元),五年期存款为916.0133(万元).
5.3.2、 模型的建立与求解
在即可以存款又可以购买国库券时，这种情况下又可以分为三种不同的情况。
第一种情况在每年年初时发行国库券，通过比较存款和购买国库券的利率可知国库券的利率大于存款利率，在既可以购买国库券又可以存款时。肯定选择购买国库券。解决这种方式时只需要把第六年的奖金改为原来的1.2倍，列式计算式如下：
X71+Y72+Y73=Y25(1+5p5)+Y43(1+3p3)+Y52(1+2p2)+X61(1+r1)-1.2z 利用问题二中的第一种情况的线性方程组解得最大奖金
Z=25.01778(万元)
第六年可以获得的奖金是30.021336万元
第二种情况国库券的发行在每年的其他发行这时在没发放国库券时可以选择半年期定期、半年期活期、购买国库券。第三种情况国库券在每年年中发放。这样存款方式即是两个半年期定期存款、购买国库券。这两种情况可以用第二问的二、三种情况的模型解题只需要把奖金改为原来的1.2倍。
只需要把第六年的奖金改为原来的1.2倍，如下所示:
x71+x72+x73+y73+y74=x25(1+5r5)+x43(1+3r3)+x52(1+2r2)+x61(1+r1)+y26p3+y44p2+y43p1-1.2z
根据问题二的第二种情况的线性方程组联立解得。
半年活期、半年定期、购买国库券的“组合式”方式时，最大奖金额是：
Z=28.80516(万元)
第六年可以获得的奖金额是34.566192万元
半年定期、半年定期、购买国库券的“组合式”方式时，最大奖金额是：
Z=21.53805(万元)
第六年所获得的奖金额是25.84566万元
根据以上计算结果可知在只有存款时所获得的奖金数额最少，在既可以存款又可以购买国库券时，购买国库券时所获得的奖金额最大。
六、模型的检验
问题一的检验可以采取将全部资金分为不同的存款方式，以题意可知要想获得最大的奖金数额必须使存款时间最长，可以采取将每年到期的本息和全部用来发放奖金，例如第一年年末的时候把一年期存款取出，所得的本息和全部用来发放第一年的奖金。第二年年末把二年期存款取出，所得本息和全部用来发放第二
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年的奖金。
定理1
在年利率不变的情况下，把一笔固定数额的资金N先存定期k年再存定期j年与先存定期j年再存定期k年，本金和利息相同。
证明：定义pk和pk是存款k年和j年的年利率，N为一笔固定数额的金额。由上述可得先存定期k年再存定期j年所得的本金和利息为N(1?pk)(1?pj)，先存定期j年再存定期k年的本金和利息为N(1?pj)(1?pk)。显然可得：
N(1?pk)(1?pj)?N(1?pj)(1?pk)
定理2
使一定数额的资金存款n年后本息和最大的存款策略为 当n?1时，存定期1年； 当n?2时，存定期2年； 当n?3时，存定期3年；
当n?4时，先存定期3年，然后再存定期1年； 当n?5时，存定期5年；
?n?当n?5时，首先存储??个5年定期，剩余的情况与n?5相同
?5?证明：运用枚举法将存款n年的所有组合列出来，再比较本息即可求出上述定理2，
定理3
基金M使用n年的情况，首先把M分成n份，其中第i份基金存款年限为i年，那么只有当第i份基金按最优存款策略存款i年后的本息和等于当年的奖金数，并且第n份基金按最佳存款策略存款n年后的本息和等于原基金M与当年的奖金数之和时，每年发放的奖金才能达到最多。
证明：当n?1时，命题显然成立；
当n?1时，首先需要证明：第一份基金Ai存入银行定期，到期后本息和正好等于奖金数额z，即Ai(1?1.8%)?z。
假设Ai(1?1.8%)?z，运用反证法证明，分两种情况：
假设Ai(1?1.8%)?z，这种情况下说明不够支付奖金，就必须从其他部分取出，使得其他部分转化为活期，显然这种话情况获得的总利息少。为获得最大的奖金， Ai(1?1.8%)?z不成立。
Ai(1?1.8%)?z，这种情况下支付奖金后还有剩余资金，又为了不让资金闲
置，必须再次存款，显然这样获得的利息不如直接将剩余的资金转存为其它年限。所以为获得最大的奖金，Ai(1?1.8%)?z不成立。
同理可证当第i份基金按最优存款策略存款i年后的本息和等于当年的奖金数，并且第n份基金按最佳存款策略存款n年后的本息和等于原基金M与当年的奖金数之和时，每年发放的奖金才能达到最多。
定理3得证。
根据以上三个定理即可列出将资金M分成n份的线性表达式，在每年年末取出本息和用于当年奖金的发放列出线性方程组如:
A1*1.018=Z;
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A2*1.03888=Z; A3*1.0648=Z; A4*1.08397=Z; A5*1.1152=Z; A6*1.13527=Z; A7*1.15856=Z; A8*1.18746=Z; A9*1.20884=Z; A10*1.24367=Z+1000;
A1+A2+A3+A4+A5+A6+A7+A8+A9+A10=1000. 开始第一年时候把奖金分成十份，每年年末取出对应的本息和作为当年的奖金，在第十年年末取出的资金除去发奖金的资金以外，剩余的应当是最初的资金金额，解出以上线性方程组：奖金金额：
Z=21.96331(万元)
从结果可知计算结果与问题一的结果基本相等，所建模型不同，所以计算结果会有些误差，从而验证模型建立的合理性。
对于二、三两问的问题可以采取同样的模型，结果可以验证模型建立的合理性。所建模型均是最优模型。
七、模型评价与改进
6.1模型的优缺点
1.本文主要使用了线性规划模型，并使用lingo进行求解，方便运算，简单实用。
2.模型细致，逐年具体分析，将各种情况考虑进去。最后用图表进行表示，使结果更加直观。
3.假设过于理想化，与现实生活有一定差异，实际操作时必须考虑每年的利率，税收变化，以进行调整。
4.重复计算较多，计算过程比较繁琐，不借助软件很难进行求解。 6.2模型的改进方向
本文虽然对每年的各种投资都进行了考虑，但从计算结果可以看出，其实有很多计算不需要的。从而导致计算过于繁琐。因此在改进模型时可以先对一些在理论上需要考虑，但是实际上由于获得的利息过低而不需要考虑的投资进行排除，如在问题二中，只需要考虑前五年的投资方式，之后的五年不需要考虑。因此在模型的建立之前可以进行适当的估算，以减少不必要的运算。
八、模型推广
该模型适用于各种投资规划，在已知必要的约束条件下，能比较全面的在时间和空间上对资源进行调整，以达到最优的目标。除了基金的使用计划外，还能对生产，运输进行规划，以最小的成本，达到最大的利润。
九、参考文献
【1】马君儿，李东明，资金的最优分配，工科数学，18卷5期：66-70,2002
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