【五佳教育】2014福建高职统考数学第一轮教材
三、平面向量
1．基本概念：
向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。 2． 加法与减法的代数运算：
(1)A1A2?A2A3???An?1An?A1An．
(2)若a=（x1,y1）,b=（x2,y2）则a?b=（x1?x2,y1?y2）． 向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。
以向量AB=a、AD=b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量
AC=a+b,BD=b－a,DB=a－b
且有︱a︱－︱b︱≤︱a?b︱≤︱a︱+︱b︱．
向量加法有如下规律：a＋b=b＋a(交换律); a+(b+c)=(a+ b)+c （结合律）; a+0=a a＋(－a)=0.
3．实数与向量的积：实数?与向量a的积是一个向量。 (1)︱?a︱=︱?︱·︱a︱;
(2) 当?＞0时，?a与a的方向相同；当?＜0时，?a与a的方向相反；当?=0时，
?a=0．
a=（?x1,?y1）． (3)若a=（x1,y1），则?·
两个向量共线的充要条件：
(1) 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数?，使得b=?a． (2) 若a=（x1,y1）,b=（x2,y2）则a∥b?x1y2?x2y1?0． 平面向量基本定理：
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数?1，?2，使得a=?1e1+ ?2e2．
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4．P分有向线段P1P2所成的比：
设P1、P2是直线l上两个点，点P是l上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数?使P1P=?PP2，?叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
当点P在线段P1P2上时，?＞0；当点P在线段P1P2或P2P1的延长线上时，?＜0； 分点坐标公式：若P1P=?PP2；P（x1,y1）,（x,y）,（x2,y2）；1,P,P2的坐标分别为
?x2?x?x11????则y?y1??y2?1?? （?≠－1）， 中点坐标公式：
x2?x?x1??y?y12?y22?．
5． 向量的数量积： （1）向量的夹角：
00已知两个非零向量a与b，作OA=a, OB=b,则∠AOB=? （0???180）叫做向量a与b的夹角。
（2）两个向量的数量积：
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为?，则a·b=︱a︱·︱b︱cos?． 其中︱b︱cos?称为向量b在a方向上的投影． （3）向量的数量积的性质：
a=a·若a=（x1,y1）,b=（x2,y2）则e·e=︱a︱cos? (e为单位向量); a⊥b?a·b=0?x1x2?y1y2?0（a，b为非零向量）;︱a︱=a?a?cos?=
x1?y1;
22x1x2?y1y2a?b=．
2222a?bx1?y1?x2?y2(4) 向量的数量积的运算律：
a·a;(?a)·b=b·b=?(a·b)=a·(?b);(a＋b)·c=a·c+b·c．
6.主要思想与方法：
本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往
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会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。
课本题
1．已知|a|?|b|?|a?b|?1，则|a?b|= 3 。
2．若非零向量?,?满足|???|?|???|，则?与?所成角的大小为 900 。 3．已知|a|?|b|?2，a与b的夹角为
?，则a?b在a上的投影为 3 。 34．在直角坐标平面上，向量OA?(4,1)，向量OB?(2,?3)，两向量在直线l上的正射影长
度相等，则直线l的斜率为 3或-1 25．设平面向量a=(-2,1)，b=(1,?)，若a与b的夹角为钝角，则?的取值范围是
11(??,?)?(?,2)。
226．已知向量OB?(2,0),OC?(2,2),CA?(2cos?,2sin?),则向量OA,OB的夹角范围是 [?5?1212,] 。
?7．将函数y?2x的图象按向量 a平移后得到y?2x?6的图象，给出以下四个命题： ①a的坐标可以是(?3,0)； ②a的坐标可以是(?3,0)和(0,6)； ③a的坐标可以是(0,6)； ④a的坐标可以有无数种情况。 上述说法正确的是 ①②③④ 。 8．已知?ABC中，CB?a,CA?b,a?b?0,S?ABC?9．在△ABC中，BC=1，∠B=
15 ,|a|?3,|b|?5，则a与b的夹角为1500。
4?????，当△ABC的面积为3时，tan?C? ?23 。 310．若△ABC三边长AB=5，BC=7，AC=8，则AB?BC等于 ?5 。 高考题
????????????????????211.在△ABC中，AB?c，AC?b．若点D满足BD?2DC，则AD?b?c
33????????????2.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若AB?(2,4)，AC?(1,3),则BD?
（－3，－5）
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3.设a?(1,?2),b?(?3,4),c?(3,2)则(a?2b)?c? -3
????????????????4.设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且DC?2BD,CE?2EA,
????????????????????????AF?2FB,则AD?BE?CF与BC反向平行
5. △ABC的内角A若c?，B，C的对边分别为a，b，c，等于 2 2，b?6，B?120?，则a?????6.若过两点P1(-1,2),P2(5,6)的直线与x轴相交于点P，则点P分有向线段P1P2所成的比?=
1－ 37.在△ABC中，角ABC的对边分别为a、b、c,若(a+c-b)tanB=3ac,则角B的值为
2
2
2
?2?或
3 38.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与
????????????21CD交于点F．若AC?a，BD?b，则AF?a?b
339.已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a?c)?(b?c)?0,则c的最大值是 2
10.将函数y?2?1的图象按向量a平移得到函数y?2xx?1的图象，则a?(?1，?1)
11.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为7/8
?????????b?2且a与b的夹角为，则a?b? 12.若向量a，b满足a?1，37 ．
13.设向量a?(1，，2)b?(2，3)，若向量?a?b与向量c?(?4，?7)共线，则?? 2 ．
?14.已知向量a与b的夹角为120，且a?b?4，那么b?(2a?b)的值为 0 ．
????????b?(?1,2)．15.已知平面向量a?(2,4)，若c?a?(a?b)b，则|c|?____82_________． ??????16. a，b的夹角为120?，a?1，b?3 则5a?b? 7 ．
17.若AB=2, AC=2BC ，则S?ABC的最大值 22 ．
18.直角坐标平面上三点A(1,2)、B(3,?2)、C(9,7)，若E、F为线段BC的三等分点，则
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????????AE?AF= 22 ．
19.在△ABC中，三个角A,B,C的对边边长分别为a?3,b?4,c?6,则
bccosA?cacosB?abcosC的值为 61 . 22320.已知a>0，若平面内三点A（1，-a），B（2，a），C（3，a）共线，则a=__1?2______。 24.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c ，若
?3b?ccosA?acosC，则
?cosA?_____
3____________。 3文章来源：福州五佳教育网www.wujiajiaoyu.com(中小学直线提分，就上福州五佳教育)
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