安徽省2015届高考数学一轮复习 8.2两条直线的位置关系课后自
测 理
(见学生用书第329页)
A组 基础训练
一、选择题
1．已知点A(1，－2)，B(m,2)且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是( )
A．－2 B．－7 C．3 D．1
1＋m
【解析】 因为线段AB的中点为(，0)在直线x＋2y－2＝0上，代入解得m＝3.
2【答案】 C
2．直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则n的值为( ) A．－12 B．－2 C．0 D．10 【解析】 由2m－20＝0得m＝10，
由垂足(1，p)在直线mx＋4y－2＝0上得10＋4p－2＝0， ∴p＝－2，
又垂足(1，－2)在直线2x－5y＋n＝0上，则解得n＝－12. 【答案】 A
1
3．当0＜k＜时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在( )
2A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
??kx－y＝k－1，
【解析】 解方程组?
?ky－x＝2k，?
k2k－1
得交点为，.
k－1k－1
1k2k－1
因为0＜k＜，所以＜0，＞0.
2k－1k－1故交点在第二象限． 【答案】 B
4．从点(2,3)射出的光线沿与向量a＝(8,4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为( )
A．x＋2y－4＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x＋6y－16＝0 D．6x＋y－8＝0
1
【解析】 由直线与向量a＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k＝，所以直线的
21
方程为y－3＝(x－2)，其与y轴的交点坐标为(0,2)，
2
又点(2,3)关于y轴的对称点为(－2,3)． 由光学性质，反射光线过点(－2,3)与点(0,2)， 由两点式方程，反射光线的直线方程为x＋2y－4＝0. 【答案】 A
5．设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线xsin A＋ay＋c＝0与bx－ysin B＋sin C＝0的位置关系是( )
A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直
ab
【解析】 由＝，得bsin A－asin B＝0.
sin Asin B∴两直线垂直． 【答案】 C 二、填空题
6．过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且到点P(0,4)距离为2的直线方程为________．
??x－2y＋3＝0，
【解析】 由?
??2x＋3y－8＝0，
??x＝1，
得???y＝2.
∴l1与l2交点为(1,2)，
设所求直线y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0， |－2－k|
∵P(0,4)到直线距离为2，∴2＝， 2
1＋k4
∴k＝0或k＝.
3
∴直线方程为y＝2或4x－3y＋2＝0. 【答案】 y＝2或4x－3y＋2＝0
7．已知直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8，l1∥l2，则实数m的值为________．
【解析】 由(3＋m)(5＋m)－4×2＝0， 得m＝－1或m＝－7，
当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去．
5－3m138
当m＝－7时，＝≠，两直线平行．
425＋m【答案】 －7
11
8．(2014·泰安调研)已知＋＝1(a＞0，b＞0)，点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离
ab的最小值为________．
【解析】 点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离 a＋2b1?11?1?2ba?d＝＝(a＋2b)?＋?＝?3＋＋?
ab??ab?555?≥1
2
5
(3＋22)＝3
2
5＋210
. 5
当a＝2b且a＋b＝ab，
2＋2
即a＝1＋2，b＝时取等号．
2【答案】
35＋210
5
三、解答题
9．已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．
(1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 【解】 (1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)－b＝0. 又∵直线l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0. 故a＝2，b＝2.
(2)∵直线l2的斜率存在，l1∥l2，
a
∴直线l1的斜率存在．∴k1＝k2，即＝1－a.
b又∵坐标原点到这两条直线的距离相等． 4
∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b.
b2
故a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.
3
10．已知直线l：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0及点P(3,4)． (1)证明直线l过某定点，并求该定点的坐标． (2)当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程．
【解】 (1)证明 直线l的方程可化为a(2x＋y＋1)＋b(x＋y－1)＝0，
??2x＋y＋1＝0，由?
?x＋y－1＝0，?
??x＝－2，
得?
?y＝3，?
∴直线l恒过定点(－2,3)．
(2)设直线l恒过定点A(－2,3)，当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大． 4－31
又直线PA的斜率kPA＝＝，
3＋25∴直线l的斜率kl＝－5.
故直线l的方程为y－3＝－5(x＋2)，即5x＋y＋7＝0.
B组 能力提升
图8－2－1
1．如图8－2－1，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是( )
A．33 B．6 C．210 D．25
【解析】 直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2,0)．
则光线经过的路程为|CD|＝6＋2＝210. 【答案】 C
2．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________.
0－2
【解析】 设A(0,2)，B(4,0)，则线段AB的中点为(2,1)，直线AB的斜率kAB＝＝4－01－. 2
则线段AB的垂直平分线方程为y－1＝2(x－2)， 即2x－y－3＝0.
又点(7,3)与点(m，n)重合，则有
2
2
n－31
＝－，??m－72?7＋m3＋n??2×2－2－3＝0，
??m＋2n－13＝0，
即???2m－n－5＝0.
232144
解之得m＝且n＝，∴m＋n＝.
555【答案】
44 5
3．在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大．
【解】 如图所示，设点B关于l的对称点为B′，连接AB′并延长交l于P，此时的P满足|PA|－|PB|的值最大．
设B′的坐标为(a，b)， 则kBB′·kl＝－1， 即
b－4
·3＝－1. a
∴a＋3b－12＝0.①
?ab＋4?，且在直线l上，∴3×a－b＋4－1＝0，
又由于线段BB′的中点坐标为?，2?22?2?
即3a－b－6＝0.②
①②联立，解得a＝3，b＝3，∴B′(3,3)． y－1x－4
于是AB′的方程为＝，
3－13－4即2x＋y－9＝0.
??3x－y－1＝0，解?
?2x＋y－9＝0，?
??x＝2，
得?
?y＝5，?
即l与AB′的交点坐标为P (2,5)．