2012年高三数学天天练
2012年高三数学天天练6
解答题：（文科班只做前四题，理科班全做，每题15分）
???31．设向量m?(cos?,sin?)，n?(22?sin?,22?cos?)，??(??,??)，若
2????7?)的值． （1）sin(??)的值； （2）cos(??m?n?1，求：
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2.某公司欲建连成片的网球场数座，用128万元购买土地10000平方米，该球场每座的建筑面积为1000平方米，球场的总建筑面积的每平方米的平均建筑费用与球场数有关，当该球场建n个时，每平方米的平均建筑费用用f(n)表示，且f(n)=f(m )(1+
n?m
)(其中n＞m,n20
∈N)，又知建五座球场时，每平方米的平均建筑费用为400元，为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，公司应建几个球场?
3. 如图已知平面?,?，且????AB,PC??,PD??,C,D是垂足．（Ⅰ）求证：AB?平面PCD；（Ⅱ）若PC?PD?1,CD?2，试判断平面?与平面?的位置关系，并证明你的结论．
?P
BC
D
A
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4．已知定义在R上的函数f(x)?x2(ax?3)，其中a为常数.（1）若x=1是函数f(x)的一个极值点，求a的值；（2）若函数f(x)在区间（－1，0）上是增函数，求a的取值范围；（3）若函数g(x)?f(x)?f?(x),x?[0,2]，在x=0处取得最大值，求正数．．a的取值范围.
???1?5．已知二阶矩阵M有特征值??8及对应的一个特征向量e1???，并且矩阵M对应的变
1??换将点(?1,2)变换成(?2,4).（Ⅰ）求矩阵M；（Ⅱ）求矩阵M的另一个特征值，及对应
???的一个特征向量e2的坐标之间的关系；（Ⅲ）求直线l:x?y?1?0在矩阵M的作用下的直线l?的方程.
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2012年高三数学天天练 09届高三数学天天练6答案
解答题：（文科班只做前四题，理科班全做，每题15分）
???1.解：（1）依题意，m?n?cos?(22?sin?)?sin?(22?cos?)?22(sin??cos?)
?????1?4sin(??) 又m?n?1sin(??)?
4443?53（2）由于??(??,??)，则???(??,??)
2444?1?15结合sin(??)?，可得cos(??)??
4444711151133?15则cos(???) ?cos[(???)??]?(? )?????124342428128?10412802.解：设建成x个球场，则每平方米的购地费用为＝
x1000xx?5x?5由题意知f(5)＝400, f(x)＝f(5)(1+)＝400(1+)
2020641280从而每平方米的综合费用为y=f(x)+＝20（x+）+300≥20.264+300＝620（元），
xx当且仅当x=8时等号成立
故当建成8座球场时，每平方米的综合费用最省. 3、解：（Ⅰ）因为PC??,AB??，所以PC?AB．同理PD?AB． 又PC?PD?P，故AB?平面PCD． 5分
（Ⅱ）设AB与平面PCD的交点为H，连结CH、DH．因为AB?平面PCD， 所以AB?CH,AB?DH，所以?CHD是二面角C?AB?D的平面角．
222CD?PC?PD?2，即?CPD?90?． ?PD?1,CD?2又 PC，所以
在平面四边形PCHD中，?PCH??PDH??CPD?90?， 所以?CHD?90?．故平面??平面?． 14分
4. 解：（I）f(x)?ax?3x,f?(x)?3ax?6x?3x(ax?2).
322?x?1是f(x)的一个极值点，?f?(1)?0,?a?2；
（II）①当a=0时，f(x)??3x2在区间（－1，0）上是增函数，?a?0符合题意；
22),令f?(x)?0得:x1?0,x2?； aa当a>0时，对任意x?(?1,0),f?(x)?0,?a?0符合题意；
22当a<0时，当x?(,0)时f?(x)?0,???1,??2?a?0符合题意；
aa综上所述，a??2.
32（III）a?0,g(x)?ax?(3a?3)x?6x,x?[0,2]. g?(x)?3ax2?2(3a?3)x?6?3[ax2?2(a?1)x?2],
②当a?0时,f?(x)?3ax(x?令g?(x)?0,即ax?2(a?1)x?2?0(*),显然有??4a?4?0.
222?0，不妨设x1?0?x2. a当0?x2?2时，g(x2)为极小值，所以g(x)在[0，2]上的最大值只能为g(0)或g(2)； 当x2?2时，由于g(x)在[0，2]上是单调递减函数，所以最大值为g(0)，所以在[0，2] 上的最大值只能为g(0)或g(2)，
设方程（*）的两个根为x1,x2,由(*)式得x1x2??
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又已知g(x)在x=0处取得最大值，所以g(0)?g(2),
66,又因为a?0,所以a?(0,]. 55?ab??ab??1??1??8??a?b?85. （Ⅰ）设M??，则，故 ?8????????????cd??cd??1??1??8??c?d?8即0?20a?24,解得a??ab???1???2???a?2b??2?cd??2???4?，故??c?2d?4 ???????联立以上方程组解得a?6,b?2,c?4,d?4，故M???62? ??44?（Ⅱ）由（Ⅰ）知，矩阵M的特征多项式为f(?)?(??6)(??4)?8??2?10??16，
????x?故其另一个特征值为??2.设矩阵M的另一个特征向量是e2???，则
?y?????6x?2y??x?Me2???2??y?，解得2x?y?0.
4x?4y????（Ⅲ）设点(x,y)是直线l上的任一点，其在矩阵M的变换下对应的点的坐标为(x?,y?)，?64??x??x??1113则???????，即x?x??y?,y??x??y?，代入直线l的方程后并化简得
4848?44??y??y??x??y??2?0，即x?y?2?0。
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