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2014年考研数学模拟题（数学一）
本试卷满分150，考试时间180分钟
一、选择题：
?x,x?0?2(n)（1）设f(x)??ln|x|，使得f(0)不存在的最小正整数n是（ ）
? ,x?0?0 （A）0
（B）1
（C）2
（D）3
【答案】：（C）
【解析】：lim，故f(x)在x?0处连续。 f(x)?f(0)?0x?0f(x)?f(0)，故f(x)在x?0处一阶可导。 f'(0)?lim?0x?0x?0'(x)?当x?0时，f?2??x?12x(xsgnx)''??? ?23sgnxln(xsgnx)(xsgnx)ln(xsgnx)x??ln12f'(x)?f'(0)?0，则lim，故f'(x)在x?0处连续。 ?23x?0ln|x|ln|x|f'(x)?f'(0)，故f(x)在x?0处不二阶可导。 f''(0)?lim??x?0x?0（2）设f(x),g(x)在(??,??)上有定义，且x?x1是f(x)的唯一间断点，x?x2是g(x)的唯一间断点，则（ ）
（A）当x1?x2时，f(x)?g(x)必有唯一的间断点x?x1 （B） 当x1?x2时，f(x)?g(x)必有两个间断点x?x1与x?x2 （C） 当x1?x2时，f(x)g(x)必有唯一间断点x?x1
（D） 当x1?x2时，f(x)g(x)必有两个间断点x?x1与x?x2 【答案】：（B）
【解析】：令F(x)?f(x)?g(x)，假设F(x)在x?x1处连续，由f(x)?F(x)?g(x)及已知条件g(x)仅在x?x2处间断，其他处均连续，于是推出f(x)在x?x1处连续，这与已知条件矛盾，故F(x)在x?x1间断，同理推出F(x)在x?x2处亦是间断点，下举出（A），(C)，
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(D)的反例
（A）的反例：f(x)???1,x?0，g(x)??f(x)，而f(x)?g(x)?0无间断点，(C)的
?1,x?0?反例：与（A）一致，此时f(x)g(x)??1无间断点，(D)的反例：
?1,x?0?0,x??1f(x)??,g(x)??，f(x)g(x)?0无间断点。
?0,x?0?1,x??1?（3）z?（ ） x(x0,y0)?0和zy(x0,y0)?0是函数z?z(x,y)在点(x0,y0)处取得极值的
（A）必要条件但非充分条件 （B）充分条件但非必要条件
（C）充要条件 （D）既非必要也非充分条件 【答案】：(D) 【解析】：一阶偏导数全为0不能保证该点为极值点，例如函数z?xy在原点处的一阶偏导数均为0，但容易验证该函数在原点处不取极值。因此一阶偏导数全为0不是取极值的充分条件。
同样，函数在某点取极值并不能保证函数在该点处存在偏导数，例如函数z?x?y，易知
?该函数在原点处取极小值，但不存在偏导数。故z?x(x0,y0)?0和zy(x0,y0)?0也不是是
函数z?z(x,y)在点(x0,y0)处取得极值的必要条件。 （4）下面4个结论： （1）（2）
111dx???2 ?1?2??1xx1??101?1242x?xdx?x1?xdx?0 ??11?x?t1（3）
122 1?xdx?2tdt??03（4）f(x)在[a,b]上可积，则存在??[a,b]使得
)x?f(?)(b?a) ?f(xdab这其中不正确的个数共有
（A）1个 （B）2个 （C）3个 【答案】：（D） 【解析】：（1）该积分是发散的反常积分，不能用基本公式
（D）4个
x?x1?x （2）只有当x?0时才有x?（3）换元时没有变换上下限
（4）积分中值定理中，要求被积函数在积分区间上连续， 故4个都不正确
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?123??001??100????????120082009?1A(Q)?（5） 设A??456?,P??010?，Q??110，那么(P)???789??100??001???????（ ）
?80051000712009???456 （A）?? （B） ?789???23??1?? （C） ?200540076009? （D）
?789???【答案】：(B)
?401923???1004956?? ?1607989????120033???480096?? ?7140159???【解析】：P,Q均初等矩阵，因为P?1?P，且P左乘A相当于互换矩阵A的1、3两行，那么P2008A表示把A的1、3两行互换2008次，从而(P)?12008A?P2008A?A。又
?100???9(Q2009)?1?(Q?1)200，且Q?1??110?，而Q?1右乘A相当于把矩阵A的第2列加至
?001???第1列，那么A(Q应选(B)。
（6）设A是4?3矩阵，r(A)?1,?1,?2,?3是非齐次线性方程组Ax?b的三个线性无关解，下列哪个是Ax?0的基础解系? （ ）
（A） ?1??2??3 （B） ?1??2?2?3 D
（C）?1??2,?2??3（）?2??1,?3??2 【答案】：（D）
【解析】：设A是4?3矩阵，r(A)?1, 故可知基础解系中含有2个解向量，故排除A，B，又A(?1??2)?2b,A(?2??3)?2b，可知?1??2,?2??3均不是Ax?0的解，排除C,故选D 。
2009?1)?A(Q?1)2009表示把矩阵A的第2列的2009倍加至第1列，所以
?X1X?X与Y（7）设i?Xi为随机变量(i?1,2,3,4)，设矩阵
?3X2?X4???Y1Y???Y3Y2?， Y4?? 已知P?|X|?0,|Y|?0??0.4,P?|X|?0??P?|Y|?0??0.6，其中|X|、|Y|分别表示
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矩阵X与Y的行列式，记p?Pmax?|X|,|Y|??0，则p的值是（ ） (A) 0.2 (B)0.6 (C) 0.16 (D) 0.64
【答案】：（A）
【解析】：事件max?|X|,|Y|??0与?|X|?0,|Y|?0?相等，事件
?????|X|?0,|Y|?0??(|X|?0)?(|Y|?0)?是对立事件.
p?P?max?|X|,|Y|??0??1?P?(|X|?0)?(|Y|?0)?
?1?P?|X|?0??P?|Y|?0??P?|X|?0,|Y|?0? ?1?0.6?0.6?0.4?0.2.
（8）设总体X服从正态分布N(0,?2),X1,X2,X3?Xn是取自总体X的简单随机样本， X,S2分别是该样本均值和方差，若统计量F?F(1,n?1)，则 (A) F?(n?1)XnXF? (B)
S2S22222(n?1)XXF? (C) F? (D)
S2S2【答案】：（B）
22【解析】：由于X与S相互独立，所以X与S也相互独立，并且
2X?N(0,?2n),n?nX?N(0,1) ，
nX2?2??(1),2?(Xi?1i?X)22?nX2?(n?1)S2?22??2(n?1).
于是有
(n?1)S2?21?(n?1)nX?F(1,n?1)，故应选B. S2?2二、填空题 （9）lim1x(1?x)?e? . x?0x
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【答案】：?e 21x1ln(1?x)x【解析】：lim(1?x)?ee?limx?0x?0x?ex?elimx?0e1ln(1?x)?1x?1x
11ln(1?x)?1?1ln(1?x)?xe1?x ?elimx?elim?elim??2x?0x?0x?0xx2x2（10）曲线y?x?0?x?1?绕x轴旋转一周所得的旋转曲面面积为________
【答案】：
?6?55?1
?【解析】：由旋转曲面面积的计算公式可得
3112??1?2S??2?x1??dx??1?4xdx??1?4x?55?1 ????00436?2x?0121??（11）幂级数
?2n?1?n2n?1的收敛半径R?__ xnn?(?3)【答案】：3
xx(n?1)[2n?(?3)n]2?x??1得x?3，即R?3 【解析】：因lim，由
n??n[2n?1?(?3)n?1]33（12）设曲面?为锥面z?的下侧，则x?y(0?z?1)【答案】：?22222??xyzdxdy?__
?2 5222z?x?y(0?z?1)在xoy面上的投影区域为
【解析】：曲面?:2则 D:(,xyx)2?y?1xy??
2222xyzdxdy??xyx?ydxdy??xyx?ydxdy ???????DxyDxy24??4d?rsinc?os?dr?? ??05201?（13）设?1??1,1?,?2??0,1?和?1??2,1?,?2??1,3?，向量?在?1,?2下的坐标是
TTTTX???1,1?，则向量?在?1,?2下的坐标Y? .
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