四、柱坐标系与球坐标系简介
A级 基础巩固
一、选择题
1．空间直角坐标系Oxyz中，下列柱坐标对应的点在平面Oyz内的是( )
A.???1，π2，2???
B.??
2，π
?3，0??? C.??ππ?
3，4，6??? D.??π?
3，
6，π2???
解析：由P(ρ，θ，z)，当θ＝π
2
时，点P在平面Oyz内．答案：A
2．已知点M的球坐标为??π?1，3，π6???，则它的直角坐标为( A.??ππ?
1，3，6???
B.??3
31??4，4，2?? C.??3?4，34，12???
D.?
?33??4，3
4，2??
解析：设点M的直角坐标为(x，y，z)， 因为点M的球坐标为??1，
π?
3，π6???
， 所以x＝1·sin π3cos π3
6＝4
，
y＝1·sin πsin π＝3364
， z＝1·cos π＝13
2
. 所以M的直角坐标为??3
31??4，4，2??.
答案：B
3．设点M的直角坐标为 (2，0，2)，则点M的柱坐标为( A．(2，0，2) B．(2，π，2) C．(2，0，2)
D．(2，π，2)
解析：设点M的柱坐标为(ρ，θ，z)， 所以ρ＝x2
＋y2
＝2，tan θ＝yx＝0，
所以θ＝0，z＝2，所以点M的柱坐标为(2，0， 2)．
)
)
答案：A
?π?4．在空间直角坐标系中的点M(x，y，z)，若它的柱坐标为?3，，3?，则它的球坐标
3??
为( )
?ππ?A.?3，，?
34??
?ππ?C.?3，，? 43??
解析：因为M点的柱坐标为M?3，
?B.?32，???D.?32，
?
?
ππ?， 34??ππ?， 43??
π
，3??，设点M的直角坐标为(x，y，z)． 3?
π3π33
所以x＝3cos ＝，y＝3sin ＝，z＝3，
3232
?333?
所以M点的直角坐标为?，，3?.
?22?
设点M的球坐标为(γ，φ，θ)．
γ是球面的半径，φ为向量OM在xOy面上投影到x正方向夹角，θ为向量OM与z轴正方向夹角．
所以r＝
927π
＋＋9＝32，容易知道φ＝，同时结合点M的直角坐标为443
?333?
?，，3?， ?22?
可知cos θ＝
zγ
＝332
＝2
， 2
π
所以θ＝，
4
?所以M点的球坐标为?32，
?
答案：B
ππ?，. 34??
5．在直角坐标系中，点(2，2，2)关于z轴的对称点的柱坐标为( )
?A.?22，???C.?22，
3π
，2?? 4?5π
，2?? 4?
?B.?22，???D.?22，
π
，2?? 4?7π
，2?? 4?
解析：(2，2，2)关于z轴的对称点为(－2，－2，2)， 则ρ＝（－2）＋（－2）＝22，tan θ＝＝因为点(－2，－2)在平面Oxy的第三象限内，
2
2
y－2
＝1，
x－2
5π
所以θ＝，
4
5π??所以所求柱坐标为?22，，2?. 4??答案：C 二、填空题
?π3π?6．已知点M的球坐标为?4，，?，则它的直角坐标为_______，它的柱坐标是
44??
________．
3π??答案：(－2，2，22) ?22，，22? 4??7．已知在柱坐标系中，点M的柱坐标为?2，
?
?
2π
，5??，且点M在数轴Oy上的射影为3?
N，则|OM|＝________，|MN|＝________．
解析：设点M在平面Oxy上的射影为P，连接PN，则PN为线段MN在平面Oxy上的射影．
因为MN⊥直线Oy，MP⊥平面Oxy， 所以PN⊥直线Oy.
?所以|OP|＝ρ＝2，|PN|＝?ρcos
?
222
2π?
＝1， 3??
2
所以|OM|＝ρ＋z＝2＋（5）＝3. 在Rt△MNP中，∠MPN＝90°，
所以|MN|＝|PM|＋|PN|＝（5）＋1＝6. 答案：3
6
222
2
?π3π?，则点M到Oz轴的距离为________．
8．已知点M的球坐标为?4，，?44??
解析：设点M的直角坐标为(x，y， z)，
?π3π?， 则由(r，φ，θ)＝?4，，44???
知x＝4sin
π
4π4
π3πcos＝－2， 443π
＝2， 4
y＝4sinsinz＝4cos＝22，
所以点M的直角坐标为(－2，2，22)．
故点M到Oz轴的距离为（－2）＋2＝22. 答案：22 三、解答题
9．设点M的直角坐标为(1，1，2)，求点M的柱坐标与球坐标． 解：由坐标变换公式，可得ρ＝x＋y＝2， tan θ＝＝1，
π
θ＝ (点1，1)在平面xOy的第一象限．
4
2
2
22
yxr＝x2＋y2＋z2＝12＋12＋（2）2＝2.
由rcos φ＝z＝2(0≤φ≤π)，得cos φ＝
2
r＝2π，φ＝. 24
?所以点M的柱坐标为?2，
?
π?ππ?， 2?，球坐标为?2，，?. ?444???
?2?10．在柱坐标系中，点M的柱坐标为?2，π，5?，求点M到原点O的距离．
?3?
解：设点M的直角坐标为(x，y，z)．
?2?由(ρ，θ，z)＝?2，π，5?知
?3?
x＝ρcos θ＝2cosπ＝－1，y＝2sinπ＝3，
因此|OM|＝x＋y＋z＝（－1）＋（3）＋（5）＝3.
B级 能力提升
1．空间点P的柱坐标为(ρ，θ，z)，点P关于点O(0，0，0)的对称点的坐标为(0<θ≤π)( )
A．(－ρ，－θ，－z) C．(ρ，π＋θ，－z)
B．(ρ，θ，－z) D．(ρ，π－θ，－z)
2222
2
2
2323
解析：点P(ρ，θ，z)关于点O(0，0，0)的对称点为P′(ρ，π＋θ，－z)． 答案：C
2．以地球中心为坐标原点，地球赤道平面为Oxy坐标面，由原点指向北极点的连线方向为z轴正向，本初子午线所在平面为Ozx坐标面，如图所示，若某地在西经60°，南纬45°，地球的半径为R，则该地的球坐标可表示为________．
解析：由球坐标的定义可知，该地的球坐标为?R，
??
3π5π?，?. 43?
?3π，5π?
答案：?R，?43??
ρ＝1，??
3．在柱坐标系中，求满足?0≤θ<2π，的动点M（ρ，θ，z）围成的几何体的体积．
??0≤z≤2解：根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足ρ＝1，0≤θ<2π，0≤z≤2的动点M(ρ，θ，z)的轨迹如图所示，是以直线Oz为轴、轴截面为正方形的圆柱，圆柱的底面半径r＝1，h＝2，
所以V＝Sh＝πrh＝2π.
2