数列综合
★★★高考要考什么
本章主要涉及等差（比）数列的定义、通项公式、前n项和及其性质，数列的极限、无穷等比数列的各项和．同时加强数学思想方法的应用，是历年的重点内容之一，近几年考查的力度有所增加，体现高考是以能力立意命题的原则．
★ ★★ 突 破 重 难 点
31?a?a?b?1??n4n?14n?1【范例1】已知数列{an}，{bn}满足a1?2，b1?1，且?（n≥2）
13?b?a?b?1nn?1n?1??44（I）令cn?an?bn，求数列{cn}的通项公式； （II）求数列{an}的通项公式及前n项和公式Sn．
解：（Ｉ）由题设得an?bn?(an?1?bn?1)?2(n≥2)，即cn?cn?1?2（n≥2） 易知{cn}是首项为a1?b1?3，公差为２的等差数列，通项公式为cn?2n?1． （II）解：由题设得an?bn?11(an?1?bn?1)(n≥2)，令dn?an?bn，则dn?dn?1(n≥2)． 22?an?bn?2n?1，11?易知{dn}是首项为a1?b1?1，公比为的等比数列，通项公式为dn?n?1． 由?解得 122an?bn?n?1??2111n2an?n?n?， 求和得Sn??n??n?1．
2222【变式】在等差数列?an?中，a1?1，前n项和Sn满足条件
（Ⅰ）求数列?an?的通项公式；
（Ⅱ）记bn?anpan(p?0)，求数列?bn?的前n项和Tn。 解：（Ⅰ）设等差数列?an?的公差为d,由
S2n4n?2?,n?1,2,?， Snn?1S2n4n?2a?a2??3，得：1所以a2?2，即d?a2?a1?1，
a1Snn?1an?nd?a1?2n2(a?nd?a)2(a?n?1)4n?2S2nnn12又＝，所以an?n。 ???an?a1a?1n?1Sna?ann1?n2a（Ⅱ）由bn?anpn，得bn?npn。所以Tn?p?2p2?3p3???(n?1)pn?1?npn，
当p?1时，Tn?当p?1时，
n?1； 2pTn?p2?2p3?3p4???(n?1)pn?npn?1， (1?P)Tn?p?p?p???p23n?1?p?npnn?1p(1?pn)??npn?1
1?p?n?1,p?1?2?即Tn??。 np(1?p)??npn?1,p?1??1?p（理）已知二次函数y?f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f'(x)?6x?2，数列{an}的前n项和为
Sn，点(n,Sn)(n?N?)均在函数y?f(x)的图像上。
（Ⅰ）、求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）、设bn?m1，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn?对所有n?N?都成立的最小正整数m；
20anan?1解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得
a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x. 又因为点(n,Sn)(n?N?)均在函数y?f(x)的图像上，所以Sn＝3n2－2n. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－（3n?1)2?2(n?1)＝6n－5. 当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （n?N）
???（Ⅱ）由（Ⅰ）得知bn?11133?)， ＝＝(anan?1(6n?5)?6(n?1)?5?26n?56n?1故Tn＝
?bi＝
i?1n12111111?1?＝（1－）. (1?)?(?)?...?(?)??26n?177136n?56n?1??因此，要使
11m1m（1－）<（n?N?）成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满26n?120220足要求的最小正整数m为10.
【范例2】已知函数f(x)?x2?x?1，?,?是方程f(x)=0的两个根(???)，f'(x)是f(x)的导数；设a1?1，
an?1?an?f(an)（n=1,2,……） f'(an) （1）求?,?的值；
（2）证明：对任意的正整数n，都有an>a； （3）记bn?lnan??（n=1,2,……），求数列{bn}的前n项和Sn。 an?a解析：（1）∵f(x)?x2?x?1，?,?是方程f(x)=0的两个根(???)，∴??2n?1?5?1?5； ,??22 （2）f'(x)?2x?1，an?154115an(2an?1)?(2an?1)?a?an?144 ?an??an?22an?12an?1=(2an?1)?a2?1415?15?1，∵a1?1，∴有基本不等式可知a2?时取等号），∴?0（当且仅当a1?2an?1222?5?15?15?1，……，an?， ??（n=1,2,……）?0同，样a3?222(a??)(an??)an???(an?1??)，而?????1，即??1???， （3）an?1???an???n2an?12an?1(an??)2(an??)21??3?53?5an?1????ln?2ln，同理an?1???，bn?1?2bn，又b1?ln
2an?12an?11??23?5Sn?2(2n?1)ln3?5 2【文】已知函数f(x)?x2?x?1，?、?是方程f(x)?0的两个根(???)，f?(x)是的导数 设a1?1，an?1?an?(1)求?、?的值；
(2)已知对任意的正整数n有an??,记bn?lnf(an)，(n?1,2,?). f?(an)an??,(n?1,2,?).求数列{bn}的前n项和Sn．
an??解、(1) 由 x?x?1?0 得x?2?1?5?1?5?1?5 ??? ??
22222an?an?1an?1 (2) f??x??2x?1 an?1?an? ?2an?12an?1an2?11?53?5?1?5?2?2an?1?5an?an?????an?1??2an?122??2??an???2??? an?1??an?11?53?5?1?5??an??? 2?an?1?5an??an??2an?122?2?????2 ? bn?1?2bn 又 b1?lna1??3?51?5 ?ln?4lna1??23?51?5,公比为2的等比数列; 2?数列?bn?是一个首项为 4ln4ln? Sn?1?51?2n??1?52?4?2n?1?ln 1?22【变式】对任意函数f（x），x∈D，可按图示3—2构造一个数列发生器，其工作原理如下： ①输入数据x0∈D，经数列发生器输出x1＝f（x0）；
②若x1?D，则数列发生器结束工作；若x1∈D，则将x1反馈回输入端，再输出x2＝f（x1），并依此规律继续下去．
现定义f（x）=
4x?2． x?149，则由数列发生器产生数列｛xn｝．请写出数列｛xn｝的所有项； 65（Ⅰ）若输入x0＝
（Ⅱ）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x0的值；
（Ⅲ）（理）若输入x0时，产生的无穷数列｛xn｝满足：对任意正整数n,均有xn＜xn＋1，求x0的取值范围．
解：（Ⅰ）∵f（x）的定义域D＝（－∞?－1）∪（－1，＋∞） ∴数列｛xn｝只有三项x1＝
111，x2＝，x3＝－1 195（Ⅱ）∵f（x）＝
4x?2＝x即x2－3x＋2＝0，∴x＝1或x＝2 x?1即x0＝1或2时，xn＋1＝
4xn?2＝xn，故当x0＝1时，x0＝1；当x0＝2时，xn＝2（n∈N）
xn?1（Ⅲ）解不等式x＜
4x?2，得x＜－1或1＜x＜2，要使x1＜x2，则x2＜－1或1＜x1＜2 x?14x?26对于函数f（x）＝。若x1＜－1，则x2＝f（x1）＞4，x3＝f（x2）＜x2 ?4?x?1x?1当1＜x1＜2时，x2＝f（x）＞x1且1＜x2＜2依次类推可得数列｛xn｝的所有项均满足xn＋1＞xn（n∈N） 综上所述，x1∈（1，2），由x1＝f（x0），得x0∈（1，2）
【范例3】已知An(an，bn)（n?N*）是曲线y?ex上的点，a1?a，Sn是数列{an}的前n项和，且满
22n?2，3，4，足Sn…． ?3n2an?Sn?1，an?0，
?bn?2?（I）证明：数列??（n≤2）是常数数列；
?bn?（II）确定a的取值集合M，使a?M时，数列{an}是单调递增数列； （III）证明：当a?M时，弦AnAn?1（n?N*）的斜率随n单调递增
222解：（I）当n≥2时，由已知得Sn?Sn?1?3nan．
因为an?Sn?Sn?1?0，所以Sn?Sn?1?3n2． …… ① 于是Sn?1?Sn?3(n?1)2． ……② 由②－①得an?1?an?6n?3． …… ③ 于是an?2?an?1?6n?9． …… ④ 由④－③得an?2?an?6， …… ⑤
?b?bn?2ean?2所以?an?ean?2?an?e6，即数列?n?2?(n≥2)是常数数列．
bne?bn?（II）由①有S2?S1?12，所以a2?12?2a．由③有a3?a2?15，a4?a3?21，所以a3?3?2a，
a4?18?2a．而 ⑤表明：数列{a2k}和{a2k?1}分别是以a2，a3为首项，6为公差的等差数列，
所以a2k?a2?6(k?1)，a2k?1?a3?6(k?1)，a2k?2?a4?6(k?1)(k?N*)， 数列{an}是单调递增数列?a1?a2且a2k?a2k?1?a2k?2对任意的k?N*成立．
?a1?a2且a2?6(k?1)?a3?6(k?1)?a4?6(k?1)