数形结合思想在解题中的应用
宋丹
(1. 南京师范大学泰州学院数学系, 泰州, 225300)
摘要：本文从数轴、方程、应用题、不等式、函数和几何拼接这几个方面来阐述数形结合思想在解题中的应用。从而使复杂的问题简单化，抽象的事物直观化，教师讲解容易，学生也易于理解。
关键词：数形结合思想，以形想数，数形转化，应用
所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，使抽象思维和形象思维相互作用，实现数量关系和图形性质的相互转化，将抽象的数量关系和直观的图形结合起来。?1?恩格斯曾经说过：“数学是研究世界的量的关系与空间形式的科学。”从这个角度来讲，数形结合就正好完美地诠释了代数与图形之间的关系。
应用数形结合思想，通过对图形性质的分析，使数学中的许多抽象的概念及定理直观化、形象化、简单化，并借助代数的计算和分析得以解决。从小学开始到现在学习了这么多年的数学以及前一段时间的实习，我总结出六个方面来说明数形结合思想在解题中的应用。
(一)数轴体现的数形结合思想
数轴的引入是有理数内容体现数形结合思想的力量源泉。两个有理数大小的比较，是通过这两个有理数在数轴上的对应点的位置关系进行的（实数的大小比较也是如此）。相反数、绝对值概念则是通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻划的。尽管我们学习的是数，但要时刻牢记它的形，通过渗透数形结合的思想方法，帮助学生正确理解有理数的性质及其运算法则。?2?
例1：比较|-3|和2的大小
分析：由于对每一个有理数，数轴上都有唯一确定的点与它对应， 因此，
所以：2＜|-3|
（二）解方程运用的数形结合思想
方程与函数之间的关系非常密切。函数问题常利用方程来研究，而方程问题也可以借助
函数进行探究。由于函数图像具有直观形象的特征，因此，在解方程的问题时，如果能借助函数图像进行研究，以形促思，以形助数，会使解题过程变得直观形象，简洁明了，就会充分体现到数形结合的魅力。 例2： 讨论方程 分析：作出函数
?3?
的实数解的个数．
的图象，保留其位于x轴上方的部分，将
的图象．（如图）
位于x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，便可得到函数再讨论它与直线y=a的交点个数即可． ∴当a＜0时，解的个数是0；
当0＜a＜4时，解的个数是4；
当a=4时，解的个数是3．
例3:?2+2?-35=0
分析：原方程可变形为X（X+2)=35,先构造一个边长为X和X+2 的矩形，则其面积为35，再把这4个同样矩形拼成一个边长为X+（X+2）的正方形。如图5所示，4个矩形与小正方形的面积之和等于大正方形的面积。 所以，利用面积关系，得S正=4S矩+S小正，
?????2?=4X（X+2)+（X+2-X）
2
2
即
（2X+2）2=4?35?4, X1=5 ， X2=-7 原方程的解为X1=5 ， X2=-7
(三)应用题隐含的数形结合思想
应用题中隐含着数形结合的思想方法，它的难点是如何根据题意寻找等量关系列方程，
要突破这一难点，往往就要根据题意画出相应的示意图。
例4：一游泳者从A处逆水流游泳，前进50米到达B处时，发现在A处丢失塑料水壶，
立即返回寻找。在C处找到水壶。若此人的游泳速度是水流速度的1.5倍。问：此人从下水到水壶找到共游了多少距离？
分析：水壶漂行距离为s米，水流速度是v米/秒，则人的游泳速度是1.5v米/秒
5050?ss?? 所以：
1.5v?v1.5v?vv解得：s=200米
所以：总路程=200+50?2=300米
答：人一共游了300米
(四)不等式内容蕴藏着数形结合思想
在数轴上表示数是数形结合思想的具体体现，而在数轴上表示数集，则比在数轴上表示
数又前进了一步。确定一元一次不等式组的解集时，利用数轴更为有效。
例5：解不等式 ??2?1 3 2（1-?）≤5
分析： 3?+2＜3 ? ??1 1???∴?53 ??? 223???1 2
(五)函数及其图象凸显了数形结合思想
在直角坐标系中，有序实数对(x , y)与点P一一对应，从而使函数与其图象相结合。
一个函数可以用图象来表示，而可以直观地分析出函数的一些性质和特点，这为数学的解题提供了很大的帮助。教学时老师如果注重了数形结合思想方法的渗透，将会收到事半功倍的效果。
例6：已知A（1，0）、B（0，-1）、C（-1，2）、D（2，-1）、E（4，2）五个点，抛物线y=a（x-1）2+k（a＞0）经过其中的三个点．
（1）求证：C、E两点不可能同时在抛物线y=a（x-1）2+k（a＞0）上； （2）点A在抛物线y=a（x-1）2+k（a＞0）上吗？为什么？ 分析：
（1）∵抛物线y=a（x-1）2+k的对称轴为x=1，
而C（-1，2），E（4，2）两点纵坐标相等， 由抛物线的对称性可知，C、E关于直线x=1对称， 又∵C（-1，2）与对称轴相距2，E（4，2）与对称轴相距3， ∴C、E两点不可能同时在抛物线上；
（2）∵a＞0，抛物线开口向上，A点在x轴上，C、E两点在x轴上方，但C、E不能同时在抛物线上，抛物线不能经过这三点，
∴A点不在抛物线上
利用图象的直观性来讨论函数的最值，求解变量的取值范围，运用数形结合思想是函数教学中的一项重要内容。
例 7: 对于 x?R, y 取 4 - x, x + 1，关系及最大值。
分析：在分析此题时, 要引导学生利用数形结合思想, 在同一坐标系中, 先分别画出 y
= 4 - x, y = x + 1, y =
1(5 - x)三个值的最小值。求y 与x 的函数21(5 2- x)的图像，如图，易得:A (1, 2) ，B (3, 1) , 分段观察函数的最低点，故y与x 的函数关系式是:
?x?1?1?y=?(5?x) ?2??4?x(x?1)
(1<1?3) (x> 3)
它的图像是图形中的实线部分。结合图像很快可以求得,当x= 1 时, y 的最大值是 2。
(六)几何图形的拼接体现了数形结合思想
几何图形的拼接问题,它的基础是计算。有了计算为基础,我们才能通过画图或拼图得到美丽的镶嵌图案。
例8：用边长均为a的正三角形、正方形、正六边形镶嵌成一个边长为a的正十二边形的平面图形，现有6个正方形，一个正六边形，那么还需要（ ）个正三角形。
A、8 B、6 C、4 D、2
分析：由一种正多边形的内角是否是360的约数,否则不能镶嵌。而当两种或三种不同的正多边形镶嵌时,由于不同图形的内角的不同以及数量比的可变性。把正六边形画中间，六个正方形画在正六边形的六条边上，就可以得到组成正十二边形，还缺少6个正三角形。（ B ）
上面的六个方面都是将数形有机结合，达到化难为易之功效，对开拓学生思路，提高解题能力，有较大的启发和帮助。但在在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论，既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参，合理用参，建立关系，由数思
?4?形，以形想数，做好数形转化；第三是确定参数的取值范围。
华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。我相信我们在平常的学习当中，以形思数、以数想形、数形互译，就能使数形结合在我们解题时发挥出作用，大大提高做题效率。
参考文献：
[1]徐斌艳、数学课程与教学论[M]、浙江教育出版社、2003年9月
[2]张加亮、在初中数学教学中渗透与应用数形结合的思想方法[J]中国教育技术装备、2011年5月上第13期
[3]杨耀南、浅谈数形结合思想在解方程(组)题中的应用[J]、数学学习、2010年第2期
[4]彭力、浅析数形结合思想在解题中的应用[J]、课程教材教学研究（中教研究）2006年第Z4期