（二）弹性与弹性分析
弹性概念是经济学中的另一个重要概念，用来定量地描述一个经济变量对另一个经济变量变化的反应程度。
1．问题的提出
设某商品的需求函数为Q?Q(P)，其中P为价格。当价格P获得一个增量?P时，相应地需求量获得增量?Q，
?Q表示Q对P的平均变化率，但这个比值是一个与度量单位有关的量。 ?P?Q?10???10；若以分为单位，即价格增比如，假定该商品价格增加1元，引起需求量降低10个单位，则?P1?Q?101???。由此可见，当价格的计算单位不同时，会引起加100分（1元），引起需求量降低10个单位，则
?P10010?Q比值的变化。为了弥补这一缺点，采用价格与需求量的相对增量?PP及?QQ，它们分别表示价格和需求量的
?P比值
相对改变量，这时无论价格和需求量的计算单位怎样变化，比值化率，反映了需求变化对价格变化的反应程度。
2、弹性的定义
定义1：设函数y?f(x)在点x0(x0?0)的某邻域内有定义，且f(x0)?0，如果极限
?QQ?PP都不会发生变化，它表示Q对P的平均相对变
?y/f(x0)[f(x0??x)?f(x0)]/f(x0) ?lim?x?0?x?0?x/x0?x/x0lim存在，则称此极限值为函数y?f(x)在点x0处的点弹性，记为
Ey
Ex
；
x?x0
称比值
?y/f(x0)[f(x0??x)?f(x0)]/f(x0) ??x/x0?x/x0为函数y?f(x)在x0与x0??x之间的平均相对变化率，经济上也叫做点x0与x0??x之间的弧弹性。
由定义可知：
x0dyEy，且当?x??1时，有： ?Exx?x0f(x0)dxx?x0EyEx?x?x0?y/f(x0)
?x/x0即点弹性近似地等于弧弹性。
如果函数y?f(x)在区间（a、b）内可导，且f(x)?0，则称内的点弹性函数，简称为弹性函数。
函数y?f(x)在点x0处的点弹性与f(x)在x0与x0??x之间的弧弹性的数值可以是正数，也可以是负数，取决于变量y与变量x是同方向变化（正数）还是反方向变化（负数）。弹性数值绝对值的大小表示变量变化程度的大小，且
Eyx?f?(x)为函数y?f(x)在区间（a、b）Exf(x)弹性数值与变量的度量单位无关。下面给出证明。
设y?f(x)为一经济函数，变量x与y的度量单位发生变化后，自变量由x变为x，函数值由y变为y*，且
*Ey*Ey。 x??x，y??y，则*?ExEx**Ey*x*dy*证明：?*?* *Exydx?即弹性不变。
由此可见，函数的弹性（点弹性与弧弹性）与量纲无关，即与各有关变量所用的计量单位无关。这使得弹性概念在经济学中得到广泛应用，因为经济中各种商品的计算单位是不尽相同的，比较不同商品的弹性时，可不受计量单位的限制。
下面介绍几个常用的经济函数的弹性。
3、需求的价格弹性
需求指在一定价格条件下，消费者愿意购买并且有支付能力购买的商品量。消费者对某种商品的需求受多种因素影响，如价格、个人收入、预测价格、消费嗜好等，而价格是主要因素。因此在这里我们假设除价格以外的因素不变，讨论需求对价格的弹性。
定义2：设某商品的市场需求量为Q，价格为P，需求函数Q=Q(P)可导，则称
?xd(?y)??xdyxdyEy ????????yd(?x)??ydxydxExEQPdQ?? EPQdP为该商品的需求价格弹性，简称为需求弹性，通常记为?P。
需求弹性?P表示商品需求量Q对价格P变动的反应强度。由于需求量与价格P反方向变动，即需求函数为价格的减函数，故需求弹性为负值，即?P?0。因此需求价格弹性表明当商品的价格上涨（下降）1%时，其需求量将减少（增加）约?P%。
在经济学中，为了便于比较需求弹性的大小，通常取?P的绝对值?P，并根据?P的大小，将需求弹性化分为以下几个范围。
① 当?P=1（即?P??1）时，称为单位弹性，这时当商品价格增加（减少）1%时，需求量相应地减少（增加）1%，即需求量与价格变动的百分比相等。
② 当?P>1（即?P??1）时，称为高弹性（或富于弹性），这时当商品的价格变动1%时，需求量变动的百分比大于1%，价格的变动对需求量的影响较大。
③ 当?P<1（即?1??P?0）时，称为低弹性（或缺乏弹性），这时当商品的价格变动1%，需求量变动的百分比小于1%，价格的变动对需求量的影响不大。
④ 当?P=0（即?P?0）时，称为需求完全缺乏弹性，这时，不论价格如何变动，需求量固定不变。即需求函数的形式为Q=K（K为任何既定常数）。如果以纵坐标表示价格，横坐标表示需求量，则需求曲线是垂直于横坐标轴的一条直线（如图(1)）。
⑤ 当?P??（即?P???）时，称为需求完全富于弹性。表示在既定价格下，需求量可以任意变动。即需求函数的形式是P=K（K为任何既定常数），这时需求曲线是与横轴平行的一条直线（如图(2)）。
0 Q 0 Q P Q=k k P ?P?0 图（1） ?P??? 图（2）
在商品经济中，商品经营者关心的是提价（?P?0）或降价（?P?0）对总收益的影响。下面我们就利用弹性的概念，来分析需求的价格弹性与销售者的收益之间的关系。
事实上，由于
?P?PdQ?或：PdQ??PQdP QdP可见，由价格P的微小变化（?P很小时）而引起的销售收益R=PQ的改变量为
?R?dR?d(PQ)?QdP?PdQ?QdP??PQdP?(1??P)QdP
由?P?0可知，?P???P，于是
?R?(1??P)QdP
当
?P?1时（单位弹性）收益的改变量?R是较价格改变量?P的高阶无穷小，价格的变动对收益没有明显的影响。
当?P?1（高弹性），需求量增加的幅度百分比大于价格下降（上浮）的百分比，降低价格（?P?0）需求量增加即购买商品的支出增加，即销售者总收益增加（?R?0），可以采取薄利多销多收益的经济策略；提高价格（?P?0）会使消费者用于购买商品的支出减少，即销售收益减少（?R?0）。当?P?1时，（低弹性）需求量增加（减少）的百分低于价格下降（上浮）的百分比，降低价格（?P?0）会使消费者用于购买商品的支出减少，即销售收益减少（?R?0）；提高价格会使总收益增加（?R?0）。
综上所述，总收益的变化受需求弹性的制约，随着需求弹性的变化而变化，其关系如图（3）
R ?P?1 |εP |<1 |εP |>1 0 ?P 图（3）
例1：设某商品的需求函数为Q?f(P)?12?1p 2（1）求需求弹性函数及P=6时的需求弹性，并给出经济解释。 （2）当P取什么值时，总收益最大？最大总收益是多少？ 解：（1）?P?EQPdQ???EPQdPP?1??????? 1?2?24?P12?2P?(6)??61??
24?631?(6)??1 低弹性
31P) 2经济意义为当价格P=6时，若增加1%，则需求量下降1/3%，而总收益增加（?R?0）。 （2）R?PQ?P(12?R??12?P
令 R??0则P?12R(12)?72
故当价格P =12时，总收益最大，最大总收益为72。
例2：已知在某企业某种产品的需求弹性在1.3-2.1之间，如果该企业准备明年将价格降低10%，问这种商品的需求量预期会增加多少？总收益预期会增加多少？ 解：由前面的分析可知
?Q?P??PQP?R?P?(1??P)RP于是当?P?1.3时
(由PdQ??PQdP)
(由?R?(1??P)Q?P)
?Q?(?1.3)?(?0.1)?13% Q?R?(1?1.3)?(?0.1)?3% R当?P?2.1时
?Q?(?2.1)?(?0.1)?21% Q?R?(1?2.1)?(?0.1)?11% R可见，明年降价10%时，企业销售量预期将增加约13% - 21%；总收益预期将增加约3% - 11%。
4、供给的价格弹性
定义3：设某商品供给函数Q?Q(P)可导，（其中P表示价格，Q表示供给量）则称：
EQPdQ ??EPQdP为该商品的供给价格弹性，简称供给弹性，通常用?s表示。
由于?P和?Q同方向变化，故?s>0。它表明当商品价格上涨1%时，供给量将增加?s%。 对?s的讨论，完全类似于需求弹性?P，这里不再重复。
至于其它经济变量的弹性，读者可根据上面介绍的需求弹性与供给弹性，进行类似的讨论。
练习题
1、设某商品的需求函数和成本函数分别为：
P?0.1x?80c(x)?5000?20x
其中x为销售量（产量），P为价格。求边际利润函数，并计算x=150和x=400时的边际利润，解释所得结果的经济意义。
2．某种商品的需求量Q与价格P（单位：元）的关系式为：Q?f(P)?1600() （1）求需求弹性函数
14PEQ EP（2）当价格P=10元时，再增加1%，该商品的需求量Q如何变化。
3、设某种商品的销售额Q是价格P（单位：元）的函数，Q?f(P)?300P?2P。 分别求价格P=50元及P=120元时，销售额对价格P的弹性，并说明其经济意义。
4、设某商品的需求弹性在1.5-2.0之间，现打算明年将该商品的价格下调12%，那么明年该商品的需求量和总收益将如何变化？变化多少？
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