黄冈中学
2013届高三五月第二次模拟考试
数学（理）试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．设非空集合P、Q满足P?Q?P，则（ ） A．?x?Q,有x?P C．?x0?Q，使得x0?P 2．已知
x1?i B．?x?Q，有x?P
D．?x0?P，使得x0?Q
?1?yi，其中x,y是实数，i是虚数单位，则x?yi的共轭复数为（ ）
A．1?2i B．1?2i C．2?i D．2?i 3．设随机变量?服从正态分布N (3，7)，若P(?A．1 B．2
?a?2)?P(??a?2)，则
C．3
a =（ ）
D．4
4．已知集合M??x|x?4|?|x?1?|?，5N??xa?x?6? ，且M?N??2,b?，则
a?b?()
A．6 B．7 C．8 D．9 5．已知某几何体的三视图如下，则该几何体体积为（ ）
2
2
2
2
正视图 侧视图
2 2 3
1 1
俯视图
（第5题图） （第6题图） A．4+
5?2 B．4+
3?2 C．4+
?2 D．4+?
n1??6．如右上图，已知k为如图所示的程序框图输出的结果，二项式?xk??的展开式中含有非零常
x??数项，则正整数n的最小值为 ( )
- 1 -
A．4 B．5 C．6 D．7
7．先后掷骰子（骰子的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6个点）两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，设事件A为“x +y为偶数”， 事件B为“x ，y中有偶数且“x?y”，则概率P(BA)?（ ） A．
12 B．
13 C．
14 D．
1m25
4n8．正项等比数列?an?中，存在两项am,an使得aman?4a1，且a6?a5?2a4，则最小值是( ) A．
32?的
B．2 C．
73 D．
256
?x?2y??2?229．设x,y满足约束条件?3x?2y?3，若x?4y?a 恒成立，则实数a的最大值为( )
?x?y?1?A．
12 B．
34 C．
45 D．
56
10．已知函数f(x)(x?R)是偶函数，且f(2?x)?f(2?x)，当x?[0,2]时，f(x)?1?x，则方程
f(x)?11?|x|在区间[?10,10]上的解的个数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，书写不清楚，模棱两可均不得分．
11．一个学校高三年级共有学生600人，其中男生有360人，女生有240人，为了调查高三学生的
复习状况，用分层抽样的方法从全体高三学生中抽取一个容量为50的样本，应抽取女生 人． 12．已知函数f(x)??x?ax?bx (a,b?R)的图象如下图所示，它与x轴在原点处相切，且x
1
轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为，则a的值为 ．
12
32
13．某小朋友按如右图所示的规则练习数数，1大拇指，2食指，
3中指，4无名指，5小指，6无名指，...，一直数到2013时， 对应的指头是 (填指头的名称)． 14．设F1,F2是椭圆
xm22?yn22?1(m?0,n?0)的两个焦点，P为椭圆上任意一点，当
149?F1PF2取最大值时的余弦值为?
．则（Ⅰ）椭圆的离心率为 ；
- 2 -
???????????????????????（Ⅱ）若椭圆上存在一点A,使OA?OF2?F2A?0(O为坐标原点)，且AF1??AF2,则?的值
??为 ．
（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果给分．）
A 15．（选修4-1：几何证明选讲）
如图,在△ABC中,AB＝AC,?C?72° ,⊙O过A、B两点且与BC相切
于点B,与AC交于点D,连结BD,若BC＝5?1,则AC? ． 16．（选修4-4：坐标系与参数方程）
已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为?cos??2，
??4cos?(?≥0，0≤??π2O ?
D
B
C
15题图第
)，则曲线C1与C2交点的极坐标为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
??17．（本题满分12分）设角A,B,C是?ABC的三个内角,已知向量m?(sinA?sinC,sinB?sinA)，
????n?(sinA?sinC,sinB),且m?n.
(Ⅰ)求角C的大小；
????2B),试求s?t的取值范围. (Ⅱ)若向量s?(0,?1),t?(cosA,2cos2
18．（本题满分12分）某校要用三辆校车从新校区把教师接到老校区，已知从新校区到老校区有两
条公路，校车走公路①堵车的概率为
14，不堵车的概率为
34；校车走公路②堵车的概率为p，
不堵车的概率为1?p．若甲、乙两辆校车走公路①，丙校车由于其他原因走公路②，且三辆车是否堵车相互之间没有影响．
（Ⅰ）若三辆校车中恰有一辆校车被堵的概率为
716，求走公路②堵车的概率；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三辆校车中被堵车辆的个数?的分布列和数学期望．学
19．（本题满分12分）如图，PDCE为矩形，ABCD为梯形，平面PDCE^平面ABCD， ?BAD??ADC?90?，AB?AD?12CD?a,PD?2a.
（Ⅰ）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE； （Ⅱ）求平面PAD与PBC所成锐二面角的大小．
- 3 -
20．（本题满分12分）已知正项数列{an} 的前n项和Sn?（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
an?an22，bn?(1?12an)an．
（Ⅱ）定理：若函数f(x)在区间D上是下凸函数，且f?(x)存在，则当x1?x2(x1,x2?D) 时，总有
f(x1)?f(x2)x1?x2n?1?f?(x1)．请根据上述定理，且已知函数y?x(n?N+)是
(0,??)上的下凸函数，证明：bn ≥ ．
32
A,B,C,D21．（本题满分13分）抛物线P:x?2py上一点Q(m,2)到抛物线P的焦点的距离为3，
2为抛物线的四个不同的点，其中A、D关于y轴对称，D(x0,y0)，B(x1,y1)， C(x2,y2)，
?x0?x1?x0?x2 ，直线BC平行于抛物线P的以D为切点的切线．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）证明：?CAD??BAD；
（Ⅲ）D到直线AB、AC的距离分别为m、n，且m?n?求直线BC的方程．
22．（本题满分14分）已知函数f(x)?e?a(x?1)在x?ln2处的切线的斜率为1． （e为无理数，e?271828?） （Ⅰ）求a的值及f(x)的最小值；
（Ⅱ）当x?0时，f(x)?mx，求m的取值范围；
n2x2AD，?ABC的面积为48，
（Ⅲ）求证：?i?2lnii4?12e(i,n?N?)．（参考数据：ln2?0.6931）
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参考答案
选择填空：BDCBA BBACB
11．20 12．?1 13．小指 14．
57 ，
34或43 15．2 16．(22,?4)
1．【解析】P?Q?P?P?Q,故选B． 2．【解析】
x1?i?12(x?xi)?1?yi,?x?2,y?1,故选D．
3．【解析】由题意知对称轴为3，故选C．
4．【解析】M?{x0?x?5},?a?2,b?5,故选B．
5．【解析】该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分为2?2?1?3???2?4?5?2?2，所以该几何体的体积
．故选A．
6．【解析】由程序框图得k?4，通项公式Tr?1?Cnrx4n?5r，?n的最小值为为5． 故选B． 7．【解析】P(BA)?P(AB)P(A)?A3/36(3?3?3?3)/3622?13.故选B．
8．【解析】?a6?a5?2a4，?a4q?a4q?a4，解得q??1(舍）或q?2， 由aman?4a1得a1q?1m?4n?16?(1m?4n2m?n?2?16a1,?m?n?6，
2)(m?n)?2162?(1?2)?232（当m?2,n?4取等），故选A．
229．【解析】作出可行域，由x?4y?a恒成立知a?(x?4y)min
令t?x?4y，由图可知，当直线x?y?1与椭圆x?4y?t相切时，t最小，消x 得：
5y?2y?1?t?0,由??0得tmin?2222245510．【解析】由题意可得f(4?x)?f(?x)?f(x)，?函数的周期是4， 可将问题转化为 y?f(x),∴a?4．故选C． 与y?11?|x|在区间[?10,10]有几个交点． 如图：由图知，有9个交点．选B．
11．【解析】50?
240600?20．
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