第三讲 等比数列及其前n项和
考点1等比数列
1.已知数列{an}是等比数列,且a1= ,a4=-1,则{an}的公比q为 A.2 B.-
( )
C.-2 D.
2.已知数列{an}为等比数列,a5=1,a9=81,则a7= A.9或-9
B.9 C.27或-27 D.27
( )
3.[2017成都市三诊]在等比数列{an}中,a1=2,公比q=2.若am=a1a2a3a4(m∈N*),则m= ( ) A.11 B.10 C.9 D.8
4.设{an}是公比为q的等比数列,则“q>1”是“{an}为递增数列”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5.[2017银川一中一模]在等比数列{an}中,若a1= ,a4=3,则该数列前5项的积为 A.±3
B.3 C.±1 D.1
( )
( )
6.已知各项均为正数的等比数列{an}中,a2=1-a1,a4=9-a3,则a4+a5= . 考点2等比数列的前n项和
7.[2018辽宁大连八中模拟]若记等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,S3=6,则S4= A.10或8 B.-10 C.-10或8 D.-10或-8
8.[2018湖北省部分重点中学高三起点考试][数学文化题]《九章算术》中有如下问题:“今有蒲生一日,长三尺.莞生一日,长一尺.蒲生日自半;莞生日自倍.问几何日而长等?”意思是:蒲第一天长3尺,以后逐日减半;莞第一天长1尺,以后逐日增加一倍,若蒲、莞长度相等,则所需时间约为
参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1,结果精确到0.1. A.2.2天 B.2.4天 C.2.6天 D.2.8天
( ) ( )
9.已知数列{an}满足3an+1+an=0,a2=-,则{an}的前10项和等于
( )
A.-6(1-3-10) B.(1-3-10) C.3(1-3-10) D.3(1+3-10)
10.设Sn是等比数列{an}的前n项和,若 =3,则 =
( )
A.2 B. C.
D.1或2
考点3等比数列的性质
11.已知在各项均为正数的等比数列{an}中,a2与a8的等比中项为8,则4a3+a7取最小值时,首项a1等于 A.8 B.4 C.2
D.1
-
( )
12.等比数列{an}的公比为q,其前n项的积为Tn,并且满足条件:a1>1,a99a100-1>0, - <0.给出下列结论: ①0 ③T100的值是Tn中最大的; ④使Tn>1成立的最大自然数n等于198. 其中正确的结论是 .(写出所有正确结论的序号) 答案 1.C 由 =q3=-8,得q=-2,故选C. 2.B 由题意得 =a5·a9=81,又 =q2>0(其中q为公比),因此a5,a7的符号相同,故a7=9,选B. 233.B 因为am=a1a2a3a4= qqq=24×26=210=2m,所以m=10,故选B. 4.D 等比数列-1,-2,-4,…,满足公比q=2>1,但{an}不是递增数列,充分性不成立.an=-1×()n-1为递增数列,但q=<1,即必要性不成立,故“q>1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条 件,故选D. 5.D 因为a1= ,a4=3,所以3= ×q3(q为公比),解得q=3,所以a1a2a3a4a5= =(a1q2)5=( ×9)5=1, 故选D. 6.27 设等比数列{an}的公比为q,则q>0,由题意得 负值舍去 , 所以a4+a5=×33+×34=27. , - , ,则 解得 - , , 7.C 设等比数列的公比为q,由于a1=2,S3=6,所以S3=2+2q+2q2=6,则q2+q-2=0,所以q=1或q=-2.当q=1时,S4=S3+2=8;当q=-2时,S4=S3+a1q3=6+2×(-2)3=-10,选C. 8.C 设蒲每天的长度构成等比数列{an},其首项a1=3,公比为 ,其前n项和为An.设莞每天的长度构成等比数列{bn},其首项b1=1,公比为2,其前n项和为Bn.则An= - - - - ,Bn= - - . 设蒲、莞长度相等时所需时间约为x天,则 = - ,化简得2x+ =7,计算得出2x=6,2x=1(舍 - 去).所以x= =1+ ≈2.6.则估计2.6天后蒲、莞长度相等.故选C. 9.C ∵3an+1+an=0,∴ =- ,∴数列{an}是以- 为公比的等比数列,∵a2=- ,∴a1=4.由等比数 列的求和公式可得,S10= - - =3(1-3-10).故选C. - - - - 10.B ∵Sn是等比数列{an}的前n项和, =3,∴ - - - - =1+q2=3,∴q2=2,∴ == - - - - ==.故选B. 11.C 在等比数列{an}中,设公比为q,易知a2a8 =a3a7, ∵a2与a8的等比中项为8,∴a2a8 =a3a7=64,∴4a3+a7≥2 =32,当且仅当4a3=a7时等号成立,即4a1q2=a1q6,∴4=q4 ①,又 8 a2a8=64= q ②,∴联立①②可解得 =4.又等比数列{an}各项均为正数,∴a1=2,故选C.