2015年六市一模数学试题（文）
第Ⅰ卷
一．选择题：
1．已知集合A?{x|x2?1},B?{x|log2x?0},则A?B?( C) A．{x|x??1} B．{x|x?0} C．{x|x?1} D．{x|x??1或x?1} 2．如果复数
2?bi1?2i(其中i为虚数单位，b为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b等于( C) A．?6 B．223 C．?3 D．2
3．在等差数列?an?中，首项a1?0,公差d?0，若ak?a1?a2?a3??a7，则k?（A ） A．22 B．23 C．24
D．25
4．.函数y?xlnxx的图象大致是（ B）
5.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的x值是 ( D ).
A．3 B．4 C．6 D．8
6. 设a?12cos2o?3o2tan14o2sin2，b?1?tan214o，c?1?cos50o2，则有（D ） A．a?c?b B．a?b?c
C．b?c?a
D．c?a?b
7. 已知正数x,y满足??2x?y?0?x1y?3y?5?0，则z?4?()的最小值为( C )
?x2 A．1 B．
1342 C．1116 D．32 8. 将奇函数f?x??Asin??x??????A?0,??0,??2?x????2??的图象向左平移6个单位得到的图象关于原点对称，
则?的值可以为( A )
A.6 B.3 C.4 D.2
9．一个几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的体积是（D）
2
2 2 2 正视图
侧视图
2
俯视图
A．1 B．2 C．3 D．4
10.在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c，若sinA?223，a?2，S△ABC?2，则b的值为（ A）
A．3 B. 322 C．22 D．23 11．已知点A（0，2），抛物线C：y2
1=ax（a＞0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|=1：
，则a的值等于（D）
A． B． C．1 D．4
1
12. 已知函数f(x)的定义域为[－1，5]，部分对应值如下表，f(x)的导函数y＝f′(x)的图像如图所示．
a2?a6?14.
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
x f(x) 下列关于函数f(x)的命题： ①函数f(x)的值域为[1，2]； ②函数f(x)在[0，2]上是减函数；
③如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4； ④当1＜a＜2时，函数y＝f(x)－a最多有4个零点． 其中正确命题的个数为（D ）
A． 0 B． 1 C．2 D．3
－1 1 0 2 2 1.5 4 2 5 1 （Ⅱ）若数列?bn?满足：
b1b2??222?bn?an?1(n?N*)，求数列{bn}的前n项和Sn. 2n【解析】（Ⅰ）设等差数列?an?的公差为d，则依题设d?0． 由a2?a6?14,可得a4?7．
由a3a5?45，得(7?d)(7?d)?45，可得d?2． 所以a1?7?3d?1．
可得an?2n?1．……………………………6分 （Ⅱ）设cn?bn，则c1?c2?n2?cn?an?1.
第Ⅱ卷
二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。 13. 已知向量a、b,其中a? 即c1?c2??cn?2n，
可得c1?2，且c1?c2??cn?cn?1?2(n?1)．
2,b?2,且（a?b)?a,则向量a和b的夹角是_______.
? 4 所以cn?1?2，可知cn?2(n?N*)．
14. 已知三棱锥P?ABC的所有棱长都等于1，则三棱锥P?ABC的内切球的表面积 .
? 6 所以bn?2n?1，
所以数列?bn?是首项为4，公比为2的等比数列．
x2y2??1的中心任作一直线交椭圆于P、Q两点，F是椭圆的一个焦点，则△PQF 面积的最大15. 过椭圆
2516值是 .12
x?1?lnx,?16. 已知函数f(x)??1（a为常数，e为自然对
(x?2)(x?a),x?1??e分组 第1组 [60,70) 第2组 [70,80) 第3组 [80,90) 第4组 [90,100] 合计 频数 M 15 20 N 50 频率 0.26 p 0.40 q 1 数的底数）的图象在点A(e,1)处的切线与该函数的图象恰好有三个公
4(1?2n)?2n?2?4． …………………………12分 所以前n项和Sn?1?218.（本小题满分12分）
某校有150名学生参加了中学生环保知识竞赛，为了解成绩情况，现从中随机抽取50名学生的成绩进行统计（所有学生成绩均不低于60分）.请你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题：
2??共点，则实数a的取值范围是 ??,?3?22???3?22,?
3??
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分12分）
已知?an?是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a5?45,
2
??
频率组距 ?A1,B?，?A1,C?，?A1,D?，?A1,E?，
?A2,B?，?A2,C?，?A2,D?，?A2,E?，
所以恰有1名女生接受采访的概率P?19.（本小题满分12分）
如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点.
0.040 0.036 0.032 0.028 0.024 0.020 0.016 0.012 0.008 0.004 0 8. ………12分 1560 70 80 90 100 分数
（Ⅰ）求证：AC⊥SD；
w.w.w..s.5.u.c.o.m S w.w.w.s.5.u.c.o.m
（Ⅰ）写出M 、N 、p、q（直接写出结果即可），并作出频率分布直方图；
（Ⅱ）若成绩在90分以上的学生获得一等奖，试估计全校所有参赛学生获一等奖的人数；
（Ⅲ）现从第（Ⅱ）问中所得到的一等奖学生中随机选择2名学生接受采访，已知一等奖获得者中只有2名女生，
求恰有1名女生接受采访的概率.
【解析】（Ⅰ）M=13 ，N =2， p=0.30，=0.04， …………………2分
频率组距（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，侧棱SC上是否存在一点E，
使得BE∥平面PAC.若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由.
【解析】
（Ⅰ）连BD，设AC交BD于O，由题意SO?AC。在正方形ABCD中，AC?BD，所以AC?平面SBD,
得AC?SD ………5分 （Ⅱ）在棱SC上存在一点E，使BE//平面PAC
A P D B C 0.040 0.036 0.032 0.028 0.024 0.020 0.016 0.012 0.008 0.004 0 60 70 80 90 100 分数
设正方形边长a，则SD?2a由SD⊥平面PAC可得PD?2a，故可在SP上取一点N,使PN?PD,4………………4分
（Ⅱ）获一等奖的概率为0.04，获一等奖的人数估计为150?0.04?6（人）……7分
（Ⅲ）记获一等奖的6人为A1,A2,B,C,D,E，其中A1,A2为获一等奖的女生，从所有一等奖的同学中随机抽取
2名同学共有15种情况如下：
过N作PC的平行线与SC的交点即为E。连BN。在BDN中知BN//PO，又由于NE//PC,
1,故SE：EC?2：1.………12分 故平面BEN//平面PAC，得BE//平面PAC,由于SN：NP?2：20.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1:(x?3)2?(y?1)2?4和圆
?A1,A2?，?A1,B?，?A1,C?，?A1,D?，?A1,E?， ?A2,B?，?A2,C?，?A2,D?，?A2,E?，?B,C?，
?B,D?， ?B,E?， ?C,D?， ?C,E?， ?D,E?， ………9分
女生的人数恰好为1人共有8种情况如下:
3
C2:(x?4)2?(y?5)2?4.
（I）若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程；
（II）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和
l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标. 【解析】 (1)设直线l的方程为：y?k(x?4)，即kx?y?4k?0，
由垂径定理，得：圆心Cd?22?(23)21到直线l的距离?1 2
x(0,1e) 由点到直线距离公式，得：|?3k?1?4k|f?(x) k2?1?1,化简得：24k2?7k?0，
? f(x) 单调递减 解得k?0或k??724。
当k?0时，直线l的方程为y?0；
当k??724时，直线l的方程为y??724(x?4)，即7x?24y?28?0. ∴所求直线l的方程为y?0或7x?24y?28?0. ………………………………………………6分
(2) 设点P坐标为(m,n)，直线l11、l2的方程分别为：y?n?k(x?m), y?n??k(x?m)，
即：kx?y?n?km?0, ?1kx?y?n?1km?0. ∵直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，两圆半径相等， ∴由垂径定理，得：圆心C1到直线l1与C2直线l2的距离相等. ∴|?3k?1?n?km||?4?5?n?1km|k2?1?k，
1k2?1化简得：(2?m?n)k?m?n?3或(m?n?8)k?m?n?5.
∵关于k的方程有无穷多解，∴??2?m?n?0或?m?n?8?0?m?n?3?0??m?n?5?0。
解之得：点P坐标为(?3, 1322)或(52, ?12).…………………………………12分 21.（本小题满分12分）
已知函数f(x)?xlnx，g(x)?(?x2?ax?3)ex（a为实数）． (Ⅰ) 当a=5时，求函数y?g(x)在x?1处的切线方程； (Ⅱ) 求f(x)在区间[t，t+2]（t >0）上的最小值；
(Ⅲ) 若存在两不等实根．．．．．．．x1x1，x2?[e，e]，使方程g(x)?2ef(x)成立，求实数a的取值范围．
【解析】(Ⅰ)当a?5时g(x)?(?x2?5x?3)?ex,g(1)?e.
g?(x)?(?x2?3x?2)?ex，故切线的斜率为g?(1)?4e.
所以切线方程为:y?e?4e(x?1),即y?4ex?3e. ………4分
1(Ⅱ)f?(x)?lnx?1, e (1e,??) 0 ? 极小值(最小值) 单调递增
①当t?1e时,在区间(t,t?2)上f(x)为增函数, 所以f(x)min?f(t)?tlnt ②当0?t?1e时,在区间(t,11e)上f(x)为减函数,在区间(e,t?2)上f(x)为增函数, 所以f(x)min?f(1e)??1e ………8分
(Ⅲ) 由g(x)?2exf(x)，可得：2xlnx??x2?ax?3，
a?x?2lnx?3x, 令h(x)?x?2lnx?323(x?3)(x?1)x, h?(x)?1?x?x2?x2 .
x (1e,1) 1 (1,e) h?(x) ? 0 ? h(x) 单调递减 极小值(最小值) 单调递增
h(1e)?1e?3e?2,h(1)?4,h(e)?3e?e?2 . h(e)?h(1e)?4?2e?2e?0.
?实数的取值范围为4?a?e?2?3e . ………12分
请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B,C两点，弦CD//AP，AD,BC相交于点
4
aE，F为CE上一点，且DE2?EF?EC．
（Ⅰ）求证：CE?EB?EF?EP；
（Ⅱ）若CE:BE?3:2,DE?3,EF?2，求PA的长．
【解析】（Ⅰ）∵DE2?EF?EC,?DEF??DEF
∴?DEF∽?CED,∴?EDF??C ……………………………………3分 又∵CD//AP,∴?P??C, ∴?EDF??P,?DEF??PEA
∴?EDF∽?EPA， ∴
EAEF?EPED， ∴EA?ED?EF?EP 又∵EA?ED?CE?EB，∴CE?EB?EF?EP． ………………………………5分
（Ⅱ）∵DE2?EF?EC,DE?3,EF?2
∴ EC?92，∵CE:BE?3:2 ∴BE?3 由（1）可知：CE?EB?EF?EP，解得EP?274. …………………………7分 ∴BP?EP?EB?154． ∵PA是⊙O的切线，∴PA2?PB?PC ∴PA2?154?(274?92)，解得PA?1534． ……………………………………10分 23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
平面直角坐标系中，直线l的参数方程是???x?t?t（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，
?y?3建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为?2cos2???2sin2??2?sin??3?0．
（Ⅰ）求直线l的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|
【解析】（Ⅰ）消去参数得直线l的直角坐标方程：y?3x---------2分
由??x??cos?代入得 ?sin??y??sin???3?cos????3(??R).
（ 也可以是：???3或??4?3(??0)）---------------------5分 ??2cos2???2sin2??2?（Ⅱ）?sin??3?0?? 得 ????3
?2?3??3?0-----------------------------7分
设A(???1,3)，B(?2,3)，
则|AB|?|?1??2|?(?21??2)?4?1?2?15.---------10分
（若学生化成直角坐标方程求解，按步骤对应给分）
24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设不等式?2?x?1?x?2?0的解集为M,a,b?M.
（Ⅰ证明：|13a?116b|?4； （Ⅱ）比较|1?4ab|与2|a?b|的大小.
?3,x??2【解析】（I)记f(x)?|x?1|?|x?2|????2x?1,?2?x?1，
???3,x?1由?2??2x?1?0解得：?12?x?12， 即M?(?112,2) ……………………………………………………3分
所以，|13a?16b|?11111113|a|?6|b|?3?2?6?2?4; ……………………5分（II）由（I）得：a2?114，b2?4，
因为|1?4ab|2?4|a?b|2?(1?8ab?16a2b2)?4(a2?2ab?b2) ?(4a2?1)(4b2?1)?0 ………………9分 故|1?4ab|2?4|a?b|2，即|1?4ab|?2|a?b| ……………………10分
5