1np???xi,??yj??0p???xi,??yi??
?i?j?i?1.2.?.n,j?1.2.?.n,则?，?的边际分布列分别为
p????xi??11， p????yi?? nn令xi?ai,yi?bi有
11n?????ai?bi???aibinni?1i?111n2????a???ainni?1i?122inn
11n2????b???binni?1i?122in由不等式（1）有
?1n??1n2??1n2??n?aibi???n?ai???n?bi? ?i?1??i?1??i?1?2且等号成立当且仅当
2aa1a2?????n b1b2bn?n??n2??n2?即 ??aibi????ai????bi?
?i?1??i?1??i?1?且等号成立当且仅当ai?Lbi?i?1.2.??.n?
总之，所证的柯西不等式等号成立的充要条件是:
bi?0或存在常数L使ai?Lbi?i?1.2.??.n?
例4、（Shapiro不等式） 设0?ai?1,i?1,2,??,n,?ai?a,
i?1n则?aia?n,且等号成立的充要条件是a1?a2????an n?ai?11?ain 6
证明：
n1??1?ai?n1ai注意到??????n
1?aii?11?aii?1i?11?ain故所证不等式等价于
1nan2 ?n???n?an?ai?11?ain即?i?1n1?n2 1?ain?a1?ai?1 n?a由于0?且?n1?ai?1，可设二维离散型随机变量（?,?）的联合 i?1n?a概率分布为：
1?ain?ap???xi,??yj??0 p???xi,??yi???i?j?i?1.2.?.n,j?1.2.?.n,则?，?的边际分布列分别为
p????xi??1?ai1?ai，p????yi?? n?an?a令xi?1,y?1有 1?aiin?a1?ai1?1??n1?an?aii?1n?ann1?ai112 ???????21?an?aii?1?1?ai?i?1??n?a?n?a?n1?ai2????1??1n?ai?1?????n 7
由不等式（1）有n??2i?1n1且等号成立当且仅当: 1?ain?an?an?an?a ?????1?a11?a21?ai即a1?a2????an
从以上诸例的证明可见，根据不等式的特点构造相应的随机变量的概率分布是不等式（1）解题的关键所在。
二、概率方法在组合恒等式证明中的应用
首先介绍一下对组合恒等式的证明常用的方法：
（1）使用代数方法，代入组合数的值域已知的组合恒等式后进行计算或化简，使等式两边相等。
（2）使用二项式定理，可以比较展开式中xn的系数可以在展开式中另x和y为某个特定的值，还可以利用幂级数的微商或积分等数学分析的方法来求得所需要的结果。 （3）使用数学归纳法。
（4）使用结合分析的方法，说明等式两边都是对同一组合问题的计数。
下面将采用新的数学方法，用概率论的思想，通过构造事件从实事问题中把等式证明出来。通过几个例题的证明来说明这一思想。
1例1、 证明： ??Cni???Cn0???Cn??????Cnn??C2nn
222i?0n证明： 将恒等式变形
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?C???C?02nnC2nnC2n12nC??????nC2nn2n?1
所以只要找到一个随机试验，其基本事件总数为有限个且等可能，使其有n+1个互不相容的事件?0,?1,??,?n。??i??。并且对每一
ni?0个?i有
2p??Cin?i???Cn?i?0,1,??,n?
2n假设一个口袋中有2n个球，问其中“恰有i个红球，概率。
设?i表示“恰有i个红球，n?i个白球”。
基本事件总数Cn，?in?i2ni包含基本事件总数为Cn?Cn 所以：
in?ip??Cn?Cni??Cn??Cin?2?i?0,1,??,n?
2nCn2n显然，n?0,?1,??,?i互不相容，且??i??
i?0所以：1?p????p??n?nn?Ci2n????i???p??i??i?0?i?0?i?0Cn
2n得?n?Ci021n???Cn???C?2n?????Cn?2n?Cn2n
i?0证毕。
注：用这一模型可类似证明以下组合等式。 （1）Cm?1n?Cmn?Cmn?1
（2）C0Cr1r?1r?11r0Crm?n?Cm?Cn?Cm?Cn?Cm?Cn?m?n （3）C00C11mmmm?Cn?m?Cn????Cm?Cn?Cm?n
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n?i个白球”的0011nnn（4）Cm?Cn?Cm?Cn????Cm?Cn?Cm?n
3n?1n?1例2、 证明：1?2Cn2?1?2?3Cn ?n?n?1?C?n?n?1?2?????1n?1证明：
假设有n+1个箱子排成一排，把红、黑、白三种颜色的球任意n+1个放到n+1个箱里，每个箱子里放一个球，且n+1个红球编有号：
1,2,??,n?1,使n+1个箱中恰有两个红球。
2求这一事件的总数，从编有号的n+1个红球中取出两个球，有pn?1种
取法，剩下n-1个箱子里放黑球或白球，又有2n?1种，故基本事件总
2n?1数为pn ?1?2设?i表示“恰有n?1?i个白球”的概率，这n?1?i个白球在n?1个箱
?1?i子里共有Cnn?而对于其它1个箱子只能放2个红球和i?2个1种放法，
黑球，又有pi2种放法，所以?i包含的基本事件总数为：
n?1?i2i2Cn?1?pi?Cn?1?pi
于是:
i2?i?1??i?Cn?1 Cn?pp??i??2?1ni?1?pn?1?2n??n?1??2n?1i且白球最多可以放n?1个，最少放0个。对应的i为2，n?1。 显然，?2,?3,??,?n?1互不相容，且??i??
i?2n?1in?1i?1??i?Cn??n?1?n?1?1故1?p????p???i???p??i??? n?1i?2n??n?1??2?i?2?i?2于是：
??i?1??i?Ci?2n?1in?123n?1n?1 ?1?2Cn?1?2?3Cn?1?n??n?1??Cn?1?n??n?1??2 10