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初中数学竞赛精品标准教程及练习（58）
观察法
一、内容提要
数学题可以猜测它的结论（包括经验归纳法），但都要经过严谨的论证，才能确定是否正确.观察是思维的起点，直觉是正确思维的基础.
观察法解题就是用清晰的概念，直觉的思维，根据题型的特点，得出题解或猜测其结论，再加以论证.
敏锐的洞察力来自对概念明晰的理解和熟练的掌握.
例如：用观察法写出方程的解，必须明确方程的解的定义，掌握方程的解与方程的系数这间的关系. 一元方程各系数的和等于零时，必有一个解是1；而奇次项系数的和等于偶次项系数的和时，则有一个根是－1；n次方程有n个根，这样才能判断是否已求出全部的根，当根的个数超过方程次数时，可判定它是恒等式.
对题型的特点的观察一般是注意已知数据，式子或图形的特征，分析题设与结论，已知与未知这间的联系，再联想学过的定理，公式，类比所做过的题型，试验以简单的特例推导一般的结论，并探求特殊的解法.
选择题和填空题可不写解题步骤，用观察法解答更能显出优势.二、例题
例1. 解方程：x+
11=a+.xa解：方程去分母后，是二次的整式方程，所以最多只有两个实数根.根据方程解的定义，易知 x=a；或x=观察本题的特点是：左边x?1.a11?1, 右边a??1. （常数1相同）.xamm?a?（am≠0）， 可推广到：若方程f(x)+
f(x)am则f(x)=a； f(x)=.
a5520202?8 (∵8=10－如：方程x2+2?a?2, x2+3x－2).
10xax?3x都可以用上述方法解.
例2. 分解因式 a3+b3+c3－3abc.
分析：观察题目的特点，它是a, b, c的齐三次对称式.
若有一次因式，最可能的是a+b+c；若有因式a+b－c,必有b+c－a, c+a－b；若有因式a+b, 必有b+c, c+a； 若有因式b－c,必有c－a, a－b.解：∵用a=－b－c 代入原式的值为零， ∴有因式a+b+c.
故可设 a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)[m(a2+b2+c2)+n(ab+bc+ca)].比较左右两边a3的系数，得m=1, 比较abc的系数， 得 n=－1.
∴a3+b3+c3－3abc=(a+b+c) (a2+b2+c2－ab－bc－ca)
例3. 解方程
3?3?3?3?x?x.
数学、高中数学、数学课件、数学教案、数学试题、试卷数学、数学考试、奥数、集合、有理数、函数、不等式、解三角形 数学、高中数学、数学课件、数学教案、数学试题、试卷数学、数学考试、奥数、集合、有理数、函数、不等式、解三角形 分析：观察题目的特点猜想
x=解：∵x=
∴ x=
3?x?x用自身迭代验证：
3?x?3?3?x?3?3?3?x?3?3?3?3?x.3?x， 可化为x－2－x－3=0,
1?131?13. 经检验是增根. 221?13∴原方程只有一个实数根x=.
2(x?b)(x?c)(x?c)(x?a)(x?a)(x?b)例4. 求证：???1.
(a?b)(a?c)(b?c)(b?a)(c?a)(c?b)证明：把等式看作是关于x的二次方程，最多只有两个实数根；
但x=a, x=b, x=c，都能使等式成立，且知a≠b≠c，这样，方程 就有三个解；
∵方程的解的个数，超过了方程的次数.∴原等式是恒等式. 证毕.
例5. 选择题 (只有一个正确的答案)
1. 四边形ABCD内接于圆，边长依次为25，39，52，60，那么这个圆的直径长等于（ ） （A）66. （B）65. （C）63. （D）62.
2. 直角梯形ABCD的垂腰AB=7，两底AD=2，BC=3，如果边AB上的一点P，使得以P，
A，D为顶点的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似. 这样的点P有几个？答：( )
(A) 1个. (B) 2个 . (C) 3个. (D) 4个.
解：1. 选 (B)； 2. 选 ( C).1. 观察数字的特征:
∵25∶60∶65=5∶12∶13 ； 39∶52∶65=3∶4∶5 都是勾股数. ∴直径等于65，故选( B )
2. 观察 相似比可以是
ADAD2x2x?. 或. 设AP为x, 则?；或
BCPB37?x7?x3解得：x=2.8 ， x=1， 或 x=6 . 共有三解. 故选(C).
A D D P52 C65 39(2)
60 (1)B 25三、练习58 BA一. 填空题
1. 三角形的三边长分别为192，256，320.则最大角等于____度.
2. 化简 48(72+1)(74+1)(78+1)……(7
2n
C+1)+1=______.
3. 方程x2－(4+3)x+3+3=0 的两个解是______. 4. 方程x3+2x2+3x+2=0的实数根是__________. 5. 方程
x?2?2?x?21??0的实数解是_______. x?226. 若x,y为实数且x+y=a, xy=b,则x2+y2=_________.
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