第七章 不等式
利用线性规划求目标函数的最值
【背一背重点知识】
1. 平面区域的确定方法是“直线定界，特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面的交集．确定平面区域中单个变量的范围、整点个数等，只需把区域画出来，结合图形通过计算解决．
2. 线性规划问题解题步骤：
①作图——画出可行域所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的一条直线l； ②平移——将直线l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；
③求值——解有关方程组求出A点坐标(即最优解)，代入目标函数，求出目标函数的最值． 3.最优解的确定方法：
线性目标函数z＝ax＋by取最大值时的最优解与b的正负有关，当b>0时，最优解是将直线ax＋by＝0在可行域内向上方平移到端点(一般是两直线交点)的位置得到的；当b<0时，则是向下方平移． 【讲一讲提高技能】
1.必备技能：（1）线性目标函数z＝ax＋by中的z不是直线ax＋by＝z在y轴上的截距，把目标函数化为
azz要根据b的符号确定目标函数在什么情况下取得最大y=x+可知是直线ax＋by＝z在y轴上的截距，
bbb值、什么情况下取得最小值．
（2）数形结合思想要牢记，作图—定要准确，整点问题要验证解决． （3）求解线性规划中含参问题的基本方法：
线性规划中的含参问题主要有两类：一是在条件不等式组中含有参数；二是在目标函数中含有参数．解决此类问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，然后通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件． 2.典型例题：
?0?x?4?例1已知关于x,y 的不等式组?x?y?4?0 ，所表示的平面区域的面积为16，则k的值为（ ）
?kx?y?4?0?A．-1或3 B．1 C．1或?3 D．?3
?y?1,?例2已知实数x,y满足?y?2x?1,如果目标函数z?x?y 的最小值为-1，则实数m等于（ ）
?x?y?m?A．7 B．5 C．4 D．3
?x?y?2?0?例3x,y满足约束条件?x?2y?2?0，若z?y?ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（ ） ．．．
?2x?y?2?0?A,
11
或?1 B.2或 C.2或1 D.2或?1 22
【练一练提升能力】
?x?y?1?1. 已知不等式组?x?y??1，表示的平面区域为M，若直线y?kx?3k与平面区域M有公共点，则k的取
?y?0?值范围是（ ）
A. ??,0? B. ???,? C. ?0,? D. ???,??
3333?1?????1????1????1??
2.给定区域D:,令点集T?{?x0,y0??D|x0,y0?Z,?x0,y0?是z?x?y在D上取得最大值或最小值的点
},
则T中的点共确定______条不同的直线.
3.若实数满足条件则的最大值是（ ）
A．
B． C． D．
基本不等式
【背一背重点知识】 已知x＞0，y＞0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x?y时，x?y有最小值是2p (简记：积定和最小)．
p2(2)如果和x?y是定值p，那么当且仅当x?y时，xy有最大值是 (简记：和定积最大)．
4【讲一讲提高技能】
1.必备技能：（1）在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．而“定”条件往往是整个求解过程中的一个难点和关键．
?a?b?（2）.对于公式a＋b?2ab，ab???要理解它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现
?2?了ab和a＋b的转化关系.
（3）.在应用均值定理求最值时，要把握定理成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”.若忽略了某个条件，就会出现错误. 2.典型例题：
例1若实数x,y满足xy?1，则x2+2y的最小值为______________.
例2某项研究表明，在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F（单位时间内测量点的车辆数，单位： 辆/小时)与车流速度v（假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒）平均车长l（单位：米）的值有关，其公式为F?2276000v
v2?18v?20l（1）如果不限定车型，l?6.05，则最大车流量为_______辆/小时；
（2）如果限定车型，l?5，则最大车流量比（1）中的最大车流量增加 辆/小时. 【练一练提升能力】 1..已知x?0,y?0，且
21??1，若x?2y?m2?2m恒成立，则实数m的值取值范围是（ ） xyA．m?4或m??2 B．m??4或m?2 C．?2?m?4 D．?4?m?2 2. 若log（?log243a?4b）ab,则a?b的最小值是( )
A.6?23 B.7?23 C.6?43 D.7?43 3. 若正实数a,b满足a?b?1，则（ ）
11?有最大值 ab1B．ab有最小值
4A．