2007-2008学年第二学期《高等数学(下)》期末考试试卷
参考答案和评分标准
一、填空题（每小题3分，共15分）
1.x2?2y2?2z2?1. 2.e2dx?2e2dy. 3. 0. 4.I??dy?f(x,y)dx. 5.
ay
00?y?xe?x2??1(?1)nx2n?1,x????,???
n?0n!
二、选择题（每小题3分，共15分） 1.B 2.A 3.C 4.A 5.C
三、计算题（每小题7分，共49分） 1.解：直线的方向向量??i?jk?
s?n??1?n2?1?24???16,14,11?35?2 平面的法向取n???s???16,14,11?，又平面过点(2,0,-3), 所求平面的方程(点法式)为：
?16(x?2)?14(y?0)?11(z?3)?0, 即 16x?14y?11z?65?0. (7
2.解：令F(x,y,z)?x?arctan(yz)，
则?zF11?(yz)2?x??xF??z?y?y1?(yz)2， ?z?zFy1?(yz)2z?y??F??z?y??y1?(yz)2 当x??4,y?2时，由x?arctan(yz)?0得z?12， 代入上式得
?z?z?x????1,?y??1??4,2???
???4?4,2?? ． (7
’)
’)
’) ’)
(4
(4?3.解： ??x?yd? = ?4d??D0222cos?08r?rdr = ?4cos3?d? (4’)
30?1088112. (7’) ?) = = ?4(1?cos2?)dsin? = (?3032629
4.解：因为
?P?y?6xy2?2ycosx??Q?x, 所以积分与路径无关. (3’)
I???/2(0?0)dx??1(1?2y?3?2y2)dy?10?2044 (7’)
5. 解：用柱面坐标,
I??2?0d??1rdr2?r20?r2zdz (5) ???10(2r?r3?r5)dr?712?. (7’)
6.解：收敛半径为 R?limann?1n??a?lim?1,
n?1n??2n2?1?11?(?1)n?1当x?2时,级数为 ??发散；当x?时,级数为n?1n2 ?n?1n收敛，所以收敛区间为 ????12, 1?2??； (3’) ?n设S(x)??(?1)n?2?n1n?1nxn??(?1)n?1(2x), n?1n???则 S?(x)?2(?1)n?1(2x)n?1?2n?1?2n?1?(?2x)1?2x,x???11?n?1??2, 2??,
两边积分,得
S(x)??x201?2xdx?ln(1?2x),x???11???2, 2??. (7’)
7.解: |x|??4??12??2k?1)2cos(2k?1)x (5k?1(’)
?21 ?= (7’) 2?k?1(2k?1)8
四、应用题（每小题8分，共16分） 1. 设曲面?1为z?0下侧,则由高斯公式得
4xzdydz?y2dzdx?2yzdxdy???????(4z?2y?2y)dv ??1?????4zdv
?为上半球体x2?y2?z2?a2(z?0) (3’)
???2??/2a0d??0d??04rcos??r2sin?dr
?2?a4??/20sin?cos?d???a4, (6’)
而
??4xzdydz?y2dzdx?2yzdxdy?dxdy?0,
?1x2???2y?0y2?a2所以
原式??????a4 (8’)
?????1?1
2. 解:令所求的点为(x,y,z)，则x2?y2?z2?1
?f?l?2x13?2y(?13)?2z13?23(x?y?z) (2’) 下面求 g(x,y,z)?x?y?z在 x2?y2?z2?1?0下的最值．令F?x?y?z??(x2?y2?z2?1) (4??Fx?1?2?x?0则由??Fy??1?2?y?0F?1?2z??0得到x??y?z?z??x2?y2?z2?1?0 ( 6’)
’)
(x,y,z)?(111111,?,)或(x,y,z)?(?,?,?) 333333由g(111111,?,)?3，g(?,,?)??3 333333111,?,)为所求的点． (8’)333所以(
五、证明题（每小题5分，共5分）
证明: 由条件知，0?cn?an?bn?an,(n?1,2,?).
由题设
?an?1?n和
?bn?1?n均收敛，故正项级数
?(bn?1?n?an)收敛，由比较判别法知正项级
数
?(cn?1??n?an)也收敛，而 cn?(cn?an)?an,(n?1,2,?)，
再由
?an?1n的收敛性，证明了
?cn?1?n收敛。从而
?bn?1?n?cn收敛
(5’)