些内容可以帮助学生初步形成如下的观念：可以用“方程”表示“曲线”，反之，“曲线”是“方程”的图像。在此基础上，可以用代数的方法讨论几何的问题，反之，代数的性质可以用几何图形表示，在思考解析几何问题时，这是相辅相成、不可偏废的两个方面。
在选修1、2中，都延续了解析几何的内容，设计了“圆锥曲线与方程”。圆锥曲线一直是中学课程一个重要内容，有两个重要的物理背景支持着圆锥曲线的地位。一个背景是，在我们生活的宇宙中，许多物体的运动轨迹可以用圆锥曲线、近似的用圆锥曲线表示；另一个背景是光学，大部分光学仪器都是利用圆锥曲线（面）的性质制作的。这些都是圆锥曲线成为中学数学中基础知识的理由。在数学上，研究圆锥曲线有两种方法，综合几何的方法和解析几何的方法。高中数学课程选修1、2中选择解析几何的方法。在选修4的“几何证明选讲”中，运用了综合几何的方法。圆锥曲线（圆锥曲面）又称作二次曲线（圆锥曲面），它是体现解析几何本质的最好载体。二次曲线的代数表示是二元二次方程，如何利用方程的系数确定曲线的形状，揭示这个规律成为数学的经典内容。在大学数学系的课程中，以这个内容（圆锥曲面）为核心的解析几何是最基础的课程。高中数学课程中的圆锥曲线部分主要介绍了三类圆锥曲线的标准方程，强调从几何性质到建立方程的过程。例如，从几何来说，椭圆是到两个定点距离之和为定长的点的集合，从直角坐标系的选择，到椭圆标准方程的建立；从对标准方程的分析，到得出椭圆一系列的几何性质等，较全面地展示了解析几何研究问题的过程。在高中阶段，对圆锥曲线的讨论是初步的，主要目的是进一步理解解析几何的思想。
向量是几何的一个基本内容，它既可以看作是代数的内容，也可以看作几何的内容。需要说明的是，很多内容究竟是属于代数还是属于几何，仅仅是看我们强调的方面。向量是几何对象，这一点常常容易被忽视。向量可以用来表示空间中的点、线、面。如果以坐标系的原点为起点，向量就与空间中的点建立了一一对应关系；一点和一个非零向量可以唯一确定一条直线，它通过这个点且与给定向量平行；同样，一个点和一个非零向量，可以唯一确定一个平面，它过这个点且与给定向量垂直。在高维空间中，这种表示十分有用，用向量还可以表示曲线，曲面。因此，向量可以描述、刻画和替代几何中的基本研究对象——点、线、面，从这方面来看，它是几何研究的对象。“向量是几何研究对象”，这一认识很重要。在立体几何中，可用向量来讨论空间中点、线、面之间的位置关系；判断线线、线面、面面的平行与垂直，通过向量的运算来度量几何体：计算长度、角度、面积等。因此，向量是连接几何和代数的一座天然“桥梁”，它进一步地体现了解析几何的思想，是体会数形结合思想的重要载体，在以后的学习中，这座“桥”会发挥出更大的作用。
有人认为，中学数学中引入向量，用向量来处理几何问题，是因为用向量比用综合法简单、容易。这种看法是不全面的。虽然有许多问题，用向量处理确实比用综合法简单，但也可以找到用综合法处理比用向量法更简单的问题。向量之所以被引入到中学，这是因为向量在数学中占有重要的地位。向量作为一个既有方向又有大小的量，在数学中是一个最基本的概念，而且，它有着丰富的物理背景，在现代数学的发展中起着不可替代的作用，二维向量与其运算构成了非常重要的“线性空间”的模型。是代数、几何、泛函分析等基础学科研究的基本内容。
在选修2中，设计了空间向量与立体几何的内容。希望在“理工和经济”方面发展的学生需要学习这部分内容。这部分内容的定位是“定量地”思考立体几何问题。“定量”包含两个含义。一方面，严格地讨论基本图形的位置关系，即反映点与点、直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系；另一方面，从距离、角度去定量地讨论基本图形的关系。我们知道，讨论立体几何问题有两种基本思路。一个是综合法，一个是向量法。在这里强调使用向量的方法，是因为这种方法将来应用的面更广一些。这是高中数学课程的一个变化。综合几何的方法也是很重要的，在 “几何证明选讲” 专题中，能更好地体现综合几何方法的意义。
在选修1、2的几何内容中，突出了利用解析几何的思想讨论几何问题。这样，在高中阶段，学生就初步地了解了讨论几何问题的两种方法：综合法和解析法。
选修3课程有两个专题与几何有直接的关系，它们是“球面几何”与“欧拉公式与闭曲面分类”。选修4中，与几何有直接关系的有以下专题：“几何证明选讲”，“坐标系与参数方程”，“矩阵与变换”，“统筹与图论初步”等。在其它一些专题中，例如，在“对称与群”中，对称性主要是通过图形展示的。正如前面反复强调的，几何直观，空间想象，把握图形，运用图形语言等等，都是贯穿在整个数学课程中的基本思想。
3.3 运算主线
对数学最朴实的理解是：数学就是“算”，即“运算”。“运算”包括两方面，一个是“运算的对象”，一个是“运算的规律”。“数”、“字母”（代数式）、“指数”、“对数”、“三角函数”、“向量”等等都是运算对象。“结合律”、“a+(-a)=0”（即加一项，减一项）、“交换律”、各种“分配律”等等都是运算规律。“运算”几乎渗透到数学的每一个角落，运算是贯穿数学的基本脉络，是贯穿数学课程的主线，在高中数学课程中，发挥着不可替代的作用。 1．对运算的认识
运算是数学学习的一个基本内容。运算对象的不断扩展是数学发展的一条重要线索。从小学开始，学生所接触的运算对象在不断地扩展，从整数到分数，从正数到负数，从有理数到实数、复数，从数到字母、到多项式等。数的运算，字母、多项式运算，向量运算，函数、映射、变换运算，矩阵运算等，都是数学中的基本运算。
从数的运算到字母运算，是运算的一次跳跃。数的运算可以用来刻画具体问题中的数量关系，解决一个一个有关数量关系的具体问题。而字母运算则可以刻画蕴涵规律的一类问题，解决一类问题。例如，a+(b+c)=(a+b)=c,就刻画了数运算的一个基本规律——结合律。同时，字母运算也是表达函数关系、刻画普遍规律的工具。从数运算进入字母运算，是学生数学学习中的一次质变，学生对运算的理解也会产生一个跳跃。
从数的运算，到向量运算，是认识运算的又一次跳跃。运算是一类映射，在代数中，最常见的运算这样的映射：A×A→A，它是二元映射，实数的加法和乘法运算就是二元映射，但是，并不是二元映射都是运算，实际上，大部分二元映射不是运算，只有满足运算规律的二元映射才可以成为运算，即代数运算。数的运算、多项式运算都是A×A→A型的代数运算，例如，就加法运算来说，它们满足结合律、由0元、a+(-a)=0，还满足分配律。在初中阶段，所有的代数内容都离不开运算，例如，代数基本公式，因式分解，方程，不等式，函数，等等。向量是可以“算”的，向量的加法、减法运算的特征是两个向量通过加法、减法运算得到第三个向量，也满足结合律、由0元、a+(-a)=0，同时满足分配律，所以，向量的加法、减法运算是属于A×A→A型的代数运算；向量的数乘运算的特征是一个数与一个向量通过数乘运算得到一个向量，它满足一系列运算规则，例如，结合律：（ab）= a(b)，分配律：a(+)，等等。所以，数与向量的数乘夜是一种运算，是属于A×B→B型的代数运算；向量的数量积的特征是两个向量通过数量积运算得到一个数，同样，它也满足一系列运算规律，例如，分配律： (+)=+，等等，所以向量的数量积也是一种运算，即属于A×A→B型的代数运算。向量运算不同于数的运算，它涵盖了三种类型的代数运算。与数的运算相比，向量运算扩充了运算的对象。向量运算更加清晰地展现了三种类型的代数运算的特征以及代数运算的功能，同时，向量运算具有与数运算不同的一些运算律，这对于学生进一步理解其它数学运算、发展学生的运算能力具有基础作用。因此，从数的运算到向量运算，是学生数学学习中的又一次质变，学生对运算的理解也会更上一层楼。
指数运算、对数运算、三角运算、导函数运算等，从形式上看，它们都是A→A型的映射，但是，它们满足一些运算规律，例如，指数满足：等规律。通常把具有运算规律的映射称为“算子”，也有称之为一元运算。例如，求函数的导函数也是一种运算，它满足两个函数和的导函数等于先求导再求和，这是运算的规律，当然，它还满足其他的规律。这是对运算的认识是又一次飞跃。
在以后的学习中，运算对象还要进一步拓展。上述种种运算的学习，为学生今后进一步学习其它数学运算，体会数学运算的意义以及运算在建构数学系统中的作用，奠定了基础。
运算是贯穿于整个数学课程的主线之一。用这种思想认识高中的数学对提高数学素养，提高解决问题的能力是非常有用的。义务教育阶段数学课程中的运算主要是数的运算和代数式的运算，高中阶段的运算除了数的运算和代数式的运算外，还有向量运算，指数运算、导函数运算等函数运算以及矩阵运算等。 2．运算的作用 （1）运算与推理
运算本身是代数研究的重要内容，项武义教授认为代数问题就是运用运算和运算法则解决的问题，这样概括是有道理的。在某种意义说，在中学阶段，解方程问题，解不等式问题，一些函数性质的研究，等等，都是代数问题。代数问题的基本特点是不仅要证明在什么条件下“解”存在，而且，要把“解”具体地构造出来，这是一种构造性的证明，运算和运算律是构成代数推理的基本要素。例如，讨论二元一次方程组时，不仅要证明在什么条件下二元一次方程组无解、有解，而且，还会把“解”具体地构造出来；又如，利用向量证明问题时，可以把要证明的问题结果“算”出来。 在运算过程中，每一步运算所依据是运算规律，运算规律的作用类似于几何证明中的公理，它是代数推理的前提和基本依据。运算过程本身就是代数推理的过程。因此，运算与推理有着密切的联系，可以说，运算也是一种推理，运算可以“证明问题”，这是高中数学学习需要“留给学生”的最重要的思想，因此，运算的学习对于培养学生的逻辑推理能力同样具有重要作用。 （2）运算与算法
在一定意义下，算法是通过计算机解决问题的，算法由计算机实现，构成算法的基本要素是运算。计算机能完成的运算主要包括：算术运算（＋、－、×、÷），逻辑运算（与、或、非等），关系运算（＜、＞、＝、≤、≥、≠等），函数运算，等等。因此，运算是算法的基本要素，算法的设计要以运算和运算律为依据。使用各种运算和运算规律对于理解算法、选择算法、优化算法具有重要作用。 算法与证明的关系，我们参考算法的论述。 （3）运算与恒等变形
在解决数学问题的过程中，需要进行有各种各样的恒等变形，把复杂问题变成简单问题，例如，在解决一元二次方程时，我们通过配方方法，实现了降幂的目的，把一元二次方程变成一元一次方程，配方就是通过恒等变形完成的，这些恒等变形是通过反复利用运算规律实现的。又如，在三角函数等内容的学习中，无论是证明，还是求解，都是在运用各种三角函数基本运算法则进行恒等变形，通过恒等变形把我们不会解的问题变成我们会解的问题。因此，运算和运算法则的学习，对于理解恒等变形的原理，提高恒等变形的能力是非常重要的。 3．运算内容的设计
在高中数学课程中，主要有几部分内容集中的介绍了运算：指数运算；对数运算；三角函数运算；向量运算，包括平面向量和空间向量；复数运算；导数运算；等等。
高中数学课程在必修数学4和选修2-1中安排了平面向量与空间向量的内容；在选修1-2和选修2-2中安排了数系扩充与复数引入的内容；在必修课程的指数函数、对数函数、三角函数中也安排了有关的运算，在选修1、2课程的导数及其应用中还有安排了导函数运算的内容。
向量进入中学，这是中学课程的一个重大的变化，向量是一个重要的运算对象，向量的加法、向量的减法是向量自身的运算，向量的数乘是两种运算对象的运算，向量与向量的数量积是一种新的运算形式，它们蕴含着一些运算的规律。从代数上来说，向量极大的丰富了运算规律，使得我们对运算的认识提高到一个新的水平。（V, R, + ,·）构成了代数的新的运算模型，它是线性空间最生动的范例。(V， R，+，.，║║)构成了代数与拓扑密切联系的模型，它是泛函分析中线性赋范空间最生动的范例。还要特别指出的是，尽管向量的内涵很丰富，但是，作为数学研究对象来说，它还是简单、易懂并且容易掌握的。用向量解决几何问题，充分体现了运算的作用。运算在研究其他数学问题中也发挥重要的作用。
保持运算的封闭和保持基本运算法则成立是数系扩充的动力之一。例如，为了保持除法的封闭性，促使我们从整数拓展到分数；为了保持减法的封闭性，促使我们从正数拓展到负数；保持开方等运算的封闭是促使实数系扩充到复数系的原因之一。每进行一次数的拓展，我们都须讨论：在新的数中，原有的数所保持的运算规律，在新的数中是否保持？例如，从正数拓展到负数，为了保持乘法对加法的分配律成立，我们需要定义：（-1）1=-1，1（-1）=-1，（-1）（-1）=1。复数保持实数的运算规律，如，加法、乘法的结合律、交换律、乘法对加法的分配律等。但是，实数是有序的，任意两个实数都可以比较大小，故实数是有序域，复数不能比较大小，复数不是有序域。
在高中课程的其他内容中，也渗透了一些其他的运算对象和运算规律，例如，在指数、对数、三角函数等内容的学习中，蕴含着一些新的运算法则。掌握这些特殊的运算规律，是理解相关的数学概念的基础。
指数运算满足的最基本的运算律是，若用表示指数函数，即=，则上述性质可表示为。这一运算规律表明指数运算把加法运算变为乘法运算，这正是指数增长快的原因。指数函数的性质，特别是指数增长的性质就是由这一运算律决定的。指数运算的运算律还有：；；。
对数运算满足的最基本的运算律是，若用表示对数函数，即=，则上述性质可表示为。这一运算律表明对数运算把乘法运算变为加法运算，这正是对数增长慢的原因。对数函数的性质特别是对数增长的性质就是由这一运算律决定的。对数运算的运算律还有：；（其中，）。运算律表明了对数运算与指数运算的关系，即对数运算与指数运算互为逆运算。因此，对数函数与指数函数互为反函数。 三角运算，以正弦运算为例，它所满足的基本运算律是。正弦函数的性质就是由这一运算律决定的。
导函数满足的基本运算律是：；；。后两个运算律是导数运算所特有的，它与指数运算、对数运算的运算律不同。 对于上述运算与运算律的学习都会有助于学生理解运算的意义以及运算律对于研究运算的重要性。
3.4 算法主线
算法也是设计高中数学课程的一条主线。有三方面的问题应该特别注意：算法的基本思想，算法的基本结构，算法的基本语句。
算法教学应该采用“案例教学”，从具体的学生熟悉的实例出发，在具体的情境中、在处理具体问题过程中，使学生理解：算法的基本思想，算法的基本结构，算法的基本语句。
1．算法的作用
“计算机既是数学的创造物，又是数学的创造者”，而算法既是计算机理论和实践的核心，也是数学的最基本内容之一。甚至有人说，数学学习的主要作用是形成“算法思维”。算法有着悠久的发展历史，中国古代数学曾经以算法为特色，取得了举世瞩目的辉煌成就。在已经逐步进入信息化社会的今天，算法的基本知识、方法、思想日益融入人们社会生活的方方面面，已经、也应该成为现代人所应具备的一种基本素质。 算法已经成为很多学科的基础。
高中数学课程中的算法有以下几个方面的作用。
（1）算法学习能够帮助学生清晰思考问题、提高逻辑思维能力
我们常常说数学是思维的体操，能够训练学生的思维能力。算法作为数学的一个基本内容，可以帮助学生清晰地思考问题，提高逻辑思维能力。 在某种意义上，问题是数学的核心，对于很多数学问题，不论是代数问题还是几何问题，算法框图可以准确、清晰、直观地展示解决问题的过程；算法程序可以借助计算机帮助我们具体地解决问题，得到需要的结果。一个算法常常可以解决一类问题。因此，算法，一方面具有具体化、程序化、机械化的特点，同时又有高度的抽象性、概括性和精确性。将解决具体问题的思路整理成算法的过程是一个条理化，精确化和逻辑化的过程，有助于培养学生的逻辑思维能力。
我们学过一元一次方程的求解，任意给一个一元一次方程，比如３ｘ＋５＝０．我们都会求解这样的方程。它的解是：ｘ＝－５／３．
计算机能够帮助人完成很多工作，但是计算机毕竟和人脑有着本质的区别，它是机械的，在没有指令的情况下，它是不会思维的，不能进行任何判断。算法是连接人和计算机的纽带，人的思维过程，判断过程都可以通过算法体现出来，并作为指令教给计算机去完成。 比如，我们需要写一个算法让计算机来解方程： ａｘ＋ｂ＝０
其中参数由键盘任意输入，让计算机输出结果。
我们能说凡是这样的方程就让计算机输出：“ｘ＝－ｂ／ａ”就可以了吗？显然，这是有问题的，因为当ａ＝０的情形下，这种输出是错误的，也就是说，我们需要分情况讨论： １） 输入ａ，ｂ；
２） 若ａ≠０，则输出ｘ＝－ｂ／ａ；
如果ａ＝０呢？实际上方程变成了ｂ＝０，这样的方程的解又是什么呢？看来还要看看参数ｂ，若ｂ＝０，则方程为０＝０，若ｂ＝５，则方程为５＝０，这两种情形显然是不一样的，前者的解是任意实数，而后者则是无实数解，因此继续我们的算法： 3）若ａ＝０（还要对ｂ进行讨论）： (i) 若ｂ＝０，方程的解是全体实数； (ii) 若ｂ≠０，方程没有实数解。
为什么对于这样一个看似简单的方程还有这么多门道呢？因为，作为一个算法必须是精确的，任何人按照（包括计算机）这个步骤执行都能得到这个问题的求解。