8. 3 排列与组合综合问题
一、知识要点
1．均匀分组（不计组的顺序）问题不是简单的组合问题，如：将3个人分成3 组，每组一
1个人，显然只有1种分法，而不是C31?C2?C11?6种，一般地，将m?n个不同元素均匀分成n组，有
mmCmnC(mn?1)m?CmnAn种分法；
2．分组分配问题：先分组再分配，判断是否均匀分组； 3．利用对应关系解决排列、组合问题；
k?14．隔板模型，不定方程x1?x2?x3???xk?n?n?k?的正整数解的个数为Cn?1。
二、例题分析
例1．有6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法： （1）分为三份，每份2本；
（2）分给甲、乙、丙三人，每人2本；
（3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；
（4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本； （5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本
例2．有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒子内 ①共有多少种不同的放法？
②恰有一个空盒，有多少种放法？
③恰有一个盒子放2个球，共有多少种放法？ ④恰有2个盒子不放球，有多少种放法？
例3．如图，从一个3?4的方格中的一个顶点A到对顶顶点B的最短路线有几条？
拓展引申：某城市由n条东西方向的街道和m条南北方向的街道组成一个矩形街道网，如下图所示.要从A处走到B处，使所走的路程最短，有多少种不同的走法？
1
例4．（1）平面上有9个点，其中只有某4点共线，其余无三点共线，可以确定多少条直线?
可以确定多少个三角形? （2）两个同心圆，小圆上有3个点，大圆上有6个点，经过这9个点，最多可组成多少条直线？
最少可组成多少条直线？
（3）圆周上有12个点，这些点共可连成多少条弦？这些弦在圆内至多有多少个交点？ （4）以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有多少个？以一个正方体的8个顶点连成的异
面直线共有多少对？
例5．（1）设?an?是等差数列，从?a1,a2,?,a20?中任取3个不同的数，使这3个数仍成等差
数列，则这样不同的等差数列的个数最多有 （ ）
（A）90 （B）120 （C）180 （D）200 （2）集合A??1,2,???,10?的不含连续整数的3元子集的个数有 。 拓展引申：若?i,j,k??A，且j?则集合?i,j,k?的个数有 。 i?3k,?j?3，
例6．(1) 12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球
的不同放法有多少种？
(2) 12个相同的小球任意放入编号为1，2，3，4的盒子中的不同放法有多少种？ (3) 12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，要求每个盒子的小球数不小于编号数，问有多少种不同的放法？
三、规律总结
1．排列、组合混合问题先选后排的策略；
2．复杂的排列问题常常通过试验、画简图、小数字简化等手段使问题直观化，从而寻求解题途径。由于结果的正确性难以直接验证，因而常常需要用不同的方法求解来获得对结果的检验；
2
四、巩固练习
1．某班分成8个小组，每小组5人，现要从中选出4人进行4个不同的化学实验，且每组
至多选一人，则不同的安排方法种数是 （ ） A．C8A4 B．C8A4C5 C．5C8A4 D．C40A4
2．（2010全国卷2理）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 （ ） （A）12种 （B）18种 （C）36种 （D）54种
3．下图表示小明家（左上角）与学校（右下角）之间的所有街道，小明去学校时，为了走最短的路，从家走路的方向总是朝东或朝南，则小明不同的行走路线有 （ ） A、6条 B、7条 C、8条 D、9条
4444144444 4．四个不同的小球全部随意放入三个不同的盒子中，使每个盒子都不空的放法种数为（ ）
33232A．A1 B．C2 C．C3 D．C13A4 4A3 4A2 4C4C2
5．(2009湖北卷理)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为 （ ） A.18 B.24 C.30 D.36
6．把半圆弧分成9等份，以这些分点（包括直径的两端点）为顶点，作出钝角三角形的个数是 （ ）
A．C10 B．C10?C8 C．C11 D．C11?C9
7．把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是 （ ） A．168 B．144 C．96 D．72
8．如图,A、B、C、D是某油田的四口油井,计划建三条路,将这四口油井连结起来(每条路只连结两口油井),那么不同的建路方案有 ( )
331331
A．12种 B．14种 C．16种 D．18种
9．在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是 ( ) A．57 B．49 C．43 D．37
10．某校准备参加2004年全国高中数学联赛，把10个名额分配给高三年级8个班，每班至少1人，不同的分配方案有_____________种. 11．三个人坐在一排八个座位上，若每人的两边都要有空位，则不同的坐法种数为_________. 12．（2010江西理数）将6位志愿者分成4组，其中两个各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有 种（用数字作答）。
13．从一楼到二楼楼梯一共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，规定用8步
走完楼梯的方法种数是_____________.
14．在一次文艺演出中，需给舞台上方安装一排彩灯共15只，以不同的点亮方式增加舞台效果，要求设计者按照每次点亮时，必须有6只灯是关闭的，且相邻的灯不能同时被关掉，两端的灯必须点亮的要求进行设计，那么不同的点亮方式共有 种
3
15．集合A??1,2,???,12?的不含连续整数的4元子集的个数有 。
若?a,b,c,d??A，且b?a?2,c?b?3,d?c?4，则集合?a,b,c,d?的个数 有 。
16．某单位有9名外语翻译，其中7人会英语，5人会日语，现从中选2人，要求一人翻译
英语，一人翻译日语，则不同的选法有_________种（用数字作答）
17．在1，2，3，…，20这20个数中，每次取出不同的三个数，使它们的和能被3整除，
则不同的取法共有 种
18．在某次数学考试中，学号为i(i?1,2,3,4)的同学的考试成绩f(i)?{85,87,88,90,93}，
且满足f(1)?f(2)?f(3)?f(4)，则这四位同学的考试成绩的所有可能情况 有 种 19．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克
水，水克火，火克金.”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有 种（结果用数值表示）． 20．（2009天津卷理）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 个（用数字作答）
21．现将6名运动员分到4所学校去做教练，每校至少1人，有多少种不同的分配方法?
22．从6名短跑运动员中选4人参加4×100 m接力，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑
第四棒，问共有多少种参赛方法? 拓展引申:
(1)若甲乙都不跑第一棒,问共有多少种参赛方法?
(2)排课问题：一天中要排语文、数学、英语、物理、化学、体育六门课，要求体育不
排第一节，数学不排最后一节，问共有多少种排法？
学科网学科网学科网
4
8. 3 排列与组合综合问题
二、例题分析
222C6C4C2?15种方法． 例1．解：（1）分给甲、乙、丙三人，每人两本有3A322C62C4C23?A3?90种； （2）根据分步计数原理得到：3A3（3）这是“不均匀分组”问题，一共有C6C5C3?60种方法．
（4）在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有C6C5C3A3?360种方法． （5）可以分为三类情况：
22C62C4C23?A3?90种方法； ①“2、2、2型”即（1）中的分配情况，有3A31231233②“1、2、3型”即（4）中的分配情况，有C6C5C3A3?360种方法；
22C64C4C23?A3?90种方法， ③“1、1、4型”，有2A21233所以，一共有90+360+90＝540种方法． 例2．解：①共有4?256种不同的放法；
211C4C2C13?A3?144种放法； ②恰有一个空盒，有C?2A2144③恰有一个盒子放2个球，共有C4C4?C3A2?144种放法；
22C4C22?A2)?84种放法。 ④恰有2个盒子不放球，有C(CC?A?2A2241433222122例3．解：从A到B的最短路线，均需走7步，包括横向的4步和纵向的3步，于是我们只要确定第1，2，…，7步哪些是横向的，哪些是纵向的就可以了，实际只要确定哪几步是横向走。所以每一条从A到B的最短路线对应着从第1，2，…，7步取出4步（横向走）的
4一个组合，因此从A到B的最短路线共有C7=C37=35条.
拓展引申：解：将相邻两个交点之间的街道称为一段，那么从A到B需要走（n+m－2）段，而这些段中，必须有东西方向的（n－1）段，其余的为南北方向的（m－1）段，所以共有 ?1n?1Cmm?n?2=Cm?n?2种走法.
例4．解：（1）直线条数：C5?C5C4?1?31；或C9?C4?1?31。
三角形个数：C5?C5C4?C5C4?80；或C9?C4?80。
（2）最多有C9?36条；当小圆上两点与大圆上两点共线时，可组成的直线最少，有
2C92?3C4?3?21条。
2321122112233（3）可连成多少条弦C12条；要使这些弦在圆内的交点个数最多，则只需所有的交点都不
重合显然，并不是每两条弦都在圆内有交点，但如果两条弦相交，则交点就是以这两条弦的四个端点为顶点的四边形的对角线的交点，也就是说，弦在圆内的交点与以圆上四点为顶点的四边形是一一对应的。因此只需求以圆上四点为顶点的四边形的个数，即4C12?495个 2（4）正方体有8个顶点，任取4个顶点的组合数为C8?70个，其中四点共面的情况分2类：构成表面的有6组；构成对角面的有6组，所以，能形成四面体70?12?58（个）． 每个四面体的六条棱可以组成3对异面直线，以一个正方体的顶点为顶点的四面体的个数与以一个正方体的8个顶点连成的异面直线的对数形成1比3的对应关系。
5
4