附录I 外文文献翻译
估计导致工程几何分析错误的一个正式理论
SankaraHariGopalakrishnan，KrishnanSuresh 机械工程系，威斯康辛大学，麦迪逊分校，2006年9月30日
摘要：几何分析是著名的计算机辅助设计/计算机辅助工艺简化 “小或无关特征”在CAD
模型中的程序，如有限元分析。然而，几何分析不可避免地会产生分析错误，在目前的理论框架实在不容易量化。
本文中，我们对快速计算处理这些几何分析错误提供了严谨的理论。尤其，我们集中力量解决地方的特点，被简化的任意形状和大小的区域。提出的理论采用伴随矩阵制定边值问题抵达严格界限几何分析性分析错误。该理论通过数值例子说明。
关键词:几何分析;工程分析;误差估计;计算机辅助设计/计算机辅助教学 1. 介绍
机械零件通常包含了许多几何特征。不过，在工程分析中并不是所有的特征都是至关重要的。以前的分析中无关特征往往被忽略，从而提高自动化及运算速度。
举例来说，考虑一个刹车转子，如图1(a)。转子包含50多个不同的特征，但所有这些特征并不是都是相关的。就拿一个几何化的刹车转子的热量分析来说，如图1(b)。有限元分析的全功能的模型如图1(a)，需要超过150,000度的自由度，几何模型图1(b)项要求小于25，000个自由度，从而导致非常缓慢的运算速度。
图1(a)刹车转子 图1(b)其几何分析版本
除了提高速度，通常还能增加自动化水平，这比较容易实现自动化的有限元网格几何分析组成。内存要求也跟着降低，而且条件数离散系统将得以改善;后者起着重要作用迭代线性系统。
但是，几何分析还不是很普及。不稳定性到底是“小而局部化”还是“大而扩展化”，这取决于各种因素。例如，对于一个热问题，想删除其中的一个特征，不稳定性是一个局部问题:(1)净热通量边界的特点是零。(2)特征简化时没有新的热源产生; [4]对上述规则则例外。展示这些物理特征被称为自我平衡。结果，同样存在结构上的问题。
从几何分析角度看，如果特征远离该区域，则这种自我平衡的特征可以忽略。但是，如果功能接近该区域我们必须谨慎，。
从另一个角度看，非自我平衡的特征应值得重视。这些特征的简化理论上可以在系统
任意位置被施用,但是会在系统分析上构成重大的挑战。
目前，尚无任何系统性的程序去估算几何分析对上述两个案例的潜在影响。这就必须依靠工程判断和经验。
在这篇文章中，我们制定了理论估计几何分析影响工程分析自动化的方式。任意形状和大小的形体如何被简化是本文重点要解决的地方。伴随矩阵和单调分析这两个数学概念被合并成一个统一的理论来解决双方的自我平衡和非自我平衡的特点。数值例子涉及二阶scalar偏微分方程，以证实他的理论。
本文还包含以下内容。第二节中，我们就几何分析总结以往的工作。在第三节中，我们解决几何分析引起的错误分析，并讨论了拟议的方法。第四部分从数值试验提供结果。第五部分讨论如何加快设计开发进度。
2. 前期工作
几何分析过程可分为三个阶段: 识别:哪些特征应该被简化；
简化：如何在一个自动化和几何一致的方式中简化特征； 分析:简化的结果。
第一个阶段的相关文献已经很多。例如，企业的规模和相对位置这个特点，经常被用来作为度量鉴定。此外，也有人提议以有意义的力学判据确定这种特征。
自动化几何分析过程，事实上，已成熟到一个商业化几何分析的地步。但我们注意到，这些商业软件包仅提供一个纯粹的几何解决。因为没有保证随后进行的分析错误，所以必须十分小心使用。另外，固有的几何问题依然存在，并且还在研究当中。
本文的重点是放在第三阶段，即快速几何分析。建立一个有系统的方法，通过几何分析引起的误差是可以计算出来的。再分析的目的是迅速估计改良系统的反应。其中最著名的再分析理论是著名的谢尔曼-Morrison和woodbury公式。对于两种有着相似的网状结构和刚度矩阵设计，再分析这种技术特别有效。然而，过程几何分析在网状结构的刚度矩阵会导致一个戏剧性的变化，这与再分析技术不太相关。
3. 拟议的方法
3.1问题阐述
我们把注意力放在这个文件中的工程问题，标量二阶偏微分方程式(pde):
?.(?c?u)?au?f.
许多工程技术问题，如热，流体静磁等问题，可能简化为上述公式。 作为一个说明性例子，考虑散热问题的二维模块Ω如图2所示。
图2二维热座装配
热量q从一个线圈置于下方位置列为Ωcoil。半导体装置位于Ωdevice。这两个地方都属于Ω，有相同的材料属性，其余Ω将在后面讨论。特别令人感兴趣的是数量，加权
温度Tdevice内Ωdevice(见图2)。一个时段，认定为Ωslot缩进如图2，会受到抑制，其对Tdevice将予以研究。边界的时段称为Γslot其余的界线将称为Γ。边界温度Γ假定为零。两种可能的边界条件Γslot被认为是:(a)固定热源，即(-k?t)?n=q，(b)有一定温度，即T=Tslot。两种情况会导致两种不同几何分析引起的误差的结果。
设T(x，y)是未知的温度场和K导热。然后，散热问题可以通过泊松方程式表示:
??Qin?coil??.(?k?T)???0in??in?coil?T?0on??PDE?BC??(a)(?k?).h?qon?slct?or?(b)T?Tslct?slct?
(1)??Compute?Tdevice???H(x,y)T(c,y)d???device?(2)
其中H(x，y)是一些加权内核。现在考虑的问题是几何分析简化的插槽是简化之前分
析，如图3所示。
图3defeatured二维热传导装配模块
现在有一个不同的边值问题，不同领域t(x，y):
??QinΩcoil??.(-k?t)??PDE?BC??0inΩ?Ωslot?Ωcoil?t?0on Γ?(3)
?Compute?tdevice???H(x,y)t(x,y)d??devide?(4)
观察到的插槽的边界条件为t(x，y)已经消失了，因为槽已经不存在了（关键性变化）!
解决的问题是:
设定tdevice和t(x，y)的值，估计Tdevice。
这是一个较难的问题，是我们尚未解决的。在这篇文章中，我们将从上限和下限分析Tdevice。这些方向是明确被俘引理3、4和3、6。至于其余的这一节，我们将发展基本概念和理论，建立这两个引理。值得注意的是，只要它不重叠，定位槽与相关的装置或热源没有任何限制。上下界的Tdevice将取决于它们的相对位置。
3.2伴随矩阵方法
我们需要的第一个概念是，伴随矩阵公式表达法。应用伴随矩阵论点的微分积分方程，包括其应用的控制理论，形状优化，拓扑优化等。我们对这一概念归纳如下。
相关的问题都可以定义为一个伴随矩阵的问题，控制伴随矩阵t_(x，y)，必须符合下列公式计算〔23〕:
?H?.(?k?t*)???0t*?0on?in?devicein???slot??device(5)
伴随场t_(x，y)基本上是一个预定量，即加权装置温度控制的应用热源。可以观察到，伴随问题的解决是复杂的原始问题;控制方程是相同的;这些问题就是所谓的自身伴随矩阵。大部分工程技术问题的实际利益，是自身伴随矩阵，就很容易计算伴随矩阵。
另一方面，在几何分析问题中，伴随矩阵发挥着关键作用。表现为以下引理综述: 引理3.1已知和未知装置温度的区别，即(Tdevice-tdevice)可以归纳为以下的边界积分比几何分析插槽:
^?*????slott[?k?(T?t).n]d? Tdevice?tdevice??^??(T?t)(?k?t*.n)d????slot在上述引理中有两点值得注意:
1、积分只牵涉到边界гslot;这是令人鼓舞的。或许，处理刚刚过去的被简化信息特点可以计算误差。
2、右侧牵涉到的未知区域T(x，y)的全功能的问题。特别是第一周期涉及的差异，在正常的梯度，即涉及[-k(T-t)] ?n;这是一个已知数量边界条件[-k?t]?n所指定的时段，未知狄里克莱条件作出规定[-k?t]?n可以评估。在另一方面，在第二个周期内涉及的差异，在这两个领域，即T管; 因为t可以评价，这是一个已知数量边界条件T指定的时段。因此。
引理3.2、差额(tdevice-tdevice)不等式
(Tdevice?tdevice)??t*(?k?(T?t)).nd??slot^???slot(?k?t*.n)2d?^??slot(T?t)2d?
^and(Tdevice?tdevice)????slot(?k?t).n(T?t)d?[?k?(T?t).n]2d?^*??slot(t)d?*2??slot然而，伴随矩阵技术不能完全消除未知区域T(x，y)。为了消除T(x，y)我们把重点转向单调分析。
3.3单调性分析
单调性分析是由数学家在19世纪和20世纪前建立的各种边值问题。例如，一个单调定理:
\添加几何约束到一个结构性问题，是指在位移(某些)边界不减少\。 观察发现，上述理论提供了一个定性的措施以解决边值问题。
后来，工程师利用之前的“计算机时代”上限或下限同样的定理，解决了具有挑战性的问题。当然，随着计算机时代的到来，这些相当复杂的直接求解方法已经不为人所用。但
是，在当前的几何分析，我们证明这些定理采取更为有力的作用，尤其应当配合使用伴随理论。
我们现在利用一些单调定理，以消除上述引理T(x，y)。遵守先前规定，右边是区别已知和未知的领域，即T(x，y)-t(x，y)。因此，让我们在界定一个领域E(x，y)在区域为:
e(x，y)=t(x，y)-t(x，y)。
据悉，T(x，y)和T(x，y)都是明确的界定，所以是e(x，y)。事实上，从公式(1)和(3)，我们可以推断，e(x，y)的正式满足边值问题:
??.(?k?e)?0in??e?0on? ?^?Solve?(a)(?k?e).n?qon?slot?or?on?slot?(b)e?T?t?解决上述问题就能解决所有问题。但是，如果我们能计算区域e(x，y)与正常的坡度超过插槽，以有效的方式，然后(Tdevice-tdevice)，就评价表示e(X，Y)的效率，我们现在考虑在上述方程两种可能的情况如(a)及(b)。
例(a)边界条件较第一插槽，审议本案时槽原本指定一个边界条件。为了估算e(x，y)，考虑以下问题:
??.(?k?e?)?0in??slot?^^??Solve??k?e.n.?k?t.n.?qon?slot??e(x,y)?0,asx2?y2????(6)
因为只取决于缝隙，不讨论域，以上问题计算较简单。经典边界积分/边界元方法可
以引用。关键是计算机领域e1(x，y)和未知领域的e(x，y)透过引理3.3。这两个领域e1(x，y)和e(x，y)满足以下单调关系:
?ed??)???slot?2??slot(e)d??maxe?slot?2?measure(?slot)??
?2把它们综合在一起，我们有以下结论引理。
引理3.4未知的装置温度Tdevice，当插槽具有边界条件，东至以下限额的计算，只要求:(1)原始及伴随场T和隔热与几何分析域(2)解决e1的一项问题涉及插槽:
Tdevice?Tlowerdevice^??tdevice???(?q?k?t.n)d??g??slot^?slot(?k?t.n)2d?
^*^Tdevice?Twhere,g????upperdevice?tdevice???slott(?q?k?t.n)d??g*??slot(?k?t.n)2d?
*?2??(e)d??maxe?measure(?)slotslot???slot?观察到两个方向的右侧，双方都是独立的未知区域T(x，y)。 例(b) 插槽Dirichlet边界条件
我们假定插槽都维持在定温Tslot。考虑任何领域，即包含域和插槽。界定一个区域e(x，y)在满足: