第三章 假设检验例子
例1：某糖厂用自动打包机装糖。已知每袋糖的重量（单位：千克）服从正态分布X~N??,?2?。今随机抽查9袋，称出它们的重量并计算得到x?48.5,s*?2.5。取显著性水平??0.05。在下列两种情形下分别检验H0:??50 ?H1:??50?
(1)?2?4 (2)?2未知
糖的重量X~N??,?2?，现在已知x?48.5,s*?2.5,n?9,显著性水平??0.05，在两种情形下检验：H0:??50 ?H1:??50?(1)?2?4 (2)?2未知解：
解：(1)计算检验统计量的观测值u?n 临界值u1?x??0?2?u0.9752?1.96，因为2.25?1.96，所以拒绝原假设??948.5?50?2.25
即不能认为糖的重量的平均值是50千克，即打包机工作不正常。糖的重量X~N??,?2?，现在已知x?48.5,s*?2.5,n?9,显著性水平??0.05，在两种情形下检验：H0:??50 ?H1:??50?(2)?2未知解：计算检验统计量的观测值t?n 临界值t1??2?9?1.8s*2.5?n?1??t0.975?8??2.306，因为1.8?2.306，所以不能x??048.5?50
拒绝原假设，即不能认为打包机工作不正常。例2：在上题中，试在显著性水平??0.1下检验H0:?2?4 ?H1:?2?4?
x?48.5,s*?2.5,n?9,显著性水平??0.1，H0:?2?4 ?H1:?2?4?*2n?1s??解：计算检验统计量的观测值?2??02?12.5
临界值?21???n?1???20.9?8??13.362，因为12.5?13.362，所以不能拒绝原假设，即不能认为打包机工作不正常.例3：监测站对某条河流每日的溶解氧（DO）质量浓度记录了30个数据，并由此算得x?2.52,s?2.05。已知这条河流的每日DO质量浓度服从N??,?2?，试在显著性水平??0.05下检验H0:??2.7 ?H1:??2.7?。
溶解氧质量浓度服从N??,?2?，现在已知x?2.52,s?2.05,n?30,显著性水平??0.05，检验：H0:??2.7 ?H1:??2.7?解：显然?2未知，且ns2??n?1?s*2,由此算得s*?2.085解：
计算检验统计量的观测值t?n 临界值t1??2?30?0.473s*2.085?n?1??t0.975?29??2.0452，因为0.473?2.0452，所以x??02.52?2.7
不能拒绝原假设，即可以认为溶解氧质量浓度还是2.7mg/L.
例4．某种产品的重量X~N?12,1??单位：克?，更新设备后，从新生产的产品中 随机抽取100个，测得平均重量x?12.5?克?,如果方差不变，问更新设备后，产品的平均重量是否有显著变化???0.1?? 解：
检验H0:??12,?H1:??12?u?n?x????100?12.5?12?5, u1???u0.95?1.64521
?u?u0.95,所以拒绝原假设，即认为产品的平均重量有显著变化。例5：设某厂生产的铜线的折断力X~N??,?2?，今从一批产品中抽查10根测其折断力，算得x?575.2,s*2?68.16，试问能否认为这批铜线折断力的方差为82???0.05?? 解：
检验H0:?2?82 ?H1:?2?82?n?1?s*2?计算??2229?68.16?9.585?64222???n?1???0.025?9?=2.7,?2??n?1???0.975?9??19.023?1-2
?2.7?9.585?19.023所以不能拒绝原假设，即可以认为这批铜线折断力的方差为 82.
例6．从一批灯泡中随机抽取36只，分别测试其寿命，算得平均寿命
x?1900?小时?，标准差s=490（小时），问：能否认为这批灯泡的平均寿命为2000
小时???0.01??假设灯泡的寿命服从正态分布。 解：
H0:??2000,?H1:??2000?t?n?x???s36?1900?2000?1.22,t1???n?1??t0.95?35??2.7238
2490?t?t0.95?35?,所以能认为这批灯泡的平均寿命为2000小时
例7．随机地从一批外径为1厘米的钢珠中抽取10只测试屈服强度（单位，得到数据并由此算得x?2200,s??220。已知钢珠的屈服强度服从N/cm2）
N??,?2?。试在显著性水平??0.05下分别检验
（1）H0:??2000 ?H1:??2000? （2）H0:??200 ?H1:??200?
钢珠的屈服强度服从N??,?2?，现在已知x?2200，s??220，n?10，显著性水平??0.05，检验：H0:??2000 ?H1:??2000?解：显然?2未知，解：
计算检验统计量的观测值t?n 临界值t1?x??0?2s220?n?1??t0.975?9??2.262，因为2.875?2.262，所以?102200?2000?2.875
拒绝原假设，即不能认为钢珠的平均屈服强度还是2000N/cm2.
钢珠的屈服强度服从N??,?2?，现在已知x?2200，s??220，n?10，显著性水平??0.05，检验：H0:??200 ?H1:??200?解：显然?未知，解：
9?2202计算检验统计量的观测值??2?(xi?x)??10.892?0i?120021n2
2 临界值?12???n?1???0.95?9??16.919，因为10.89?16.919，所以不能拒绝原假设，即认为钢珠屈服强度的标准差仍是200N/cm2.
例8： 从某厂生产的电子元件中随机地抽取了25个做使用寿命测试（单位h），得到数据并由此算得x?100,?xi2?4.9?105。已知这种电子元件的使用寿命服从
i?125N??,?2?，且国家标准为90h以上。试在显著性水平??0.05下检验该厂生产的
电子元件是否符合国家标准，即要检验H0:??90 ?H1:??90?
电子元件的使用寿命服从N??,?2?，现在已知x?100，?xi?1252i?4.9?105，n?25，显著性水平??0.05，检验：H0:??90 ?H1:??90?1?n22?解：解：显然?未知，s?X?nX?100?i??n?1?i?1?2*
计算检验统计量的观测值t?nx??0100?90?25?0.5s?100 临界值t1???n?1??t0.95?24??1.7109，因为0.5?1.7109，所以不能拒绝原假设，即可以认为该厂生产的电子元件不符合国家标准.例：从某厂生产的一批灯泡中随机抽取20个，分别测试其寿命，算得平均寿命
x?1960?小时?，标准差s=200（小时），假设灯泡的寿命服从正态分布X~N??,?2?，其中?,?2均未知。在显著性水平??0.05下能否断言这批灯泡的
平均寿命达到国家标准2000小时？
例：（续）该厂的统计工作者考虑到厂方的利益，建立假设
H0:??2000,?H1:??2000?（他要设法使符合国家标准的灯泡被误认为不合格
成为第一类错误）
x?1960,s?200,n?20,显著性水平??0.05，检验：H0:??2000 ?H1:??2000?解：计算检验统计量的观测值解：
x??0x??01960?2000t?n?n?1?19??0.87s*s200 临界值t0.05?19???t0.95?19???1.73，因为?0.87??1.73，所以不能拒绝原假设，即可以认为灯泡的寿命符合国家标准.
例：某厂产品的不合格率通常是5%。厂方希望知道原料产地的改变是否对产品的质量发生显著的影响。今随机地从一批产品中抽取了100个进行检验，发现7个不合格品，试问厂方由此可以得出什么结论？取显著性水平??0.05。
拟合优度检验
在参数型统计问题中，我们总是假定总体分布为某种类型的分布。但是，在实际问题中，支持这个假定的理由有时并不十分充分，这个假定本身就需要我们根据样本来检验。拟合优度检验正是针对这个问题提出来的。它反应了数据与原假设的分布之间拟合的优劣程度。拟合的方法有两类：拟合总体的分布函数和拟合总体的概率函数（概率密度函数）考察下列例子：例：为了检查一颗骰子是否均匀，把这颗骰子掷了100次，得结果如下表：出现点数aj频数nj123456151520212326如果骰子是均匀的，那么出现各点的次数大致上应该是20次左右。设X表示骰子掷一次后出现的点数。当骰子均匀时，X的概率函数为XPr.116216316416516616因此问题转化为要检验“总体X服从上述分布”这个假设，这是一个非参数假设检验问题。皮尔逊提出取检验统计量r???2j?1(Nj?npj)2npjH0并得到下列结果：定理：当H0成立且n??时，检验统计量?2的分布函数的极限为?2?r?1? 的分布函数.即?2n??~?2?r?1?2r因此，给定检验的显著性水平?，当???j?1(Nj?npj)2npj??12??(r?1)时，应该拒绝H0，这个检验称为?2拟合优度检验。一般要求n?50.
在刚才的例子中，试在显著性水平??0.1下作?2拟合优度检验。