14.1 整式的乘法
1．同底数幂的乘法
(1)法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． ．．．．．
(2)符号表示：am·an＝amn(m，n都是正整数)．
(3)拓展：①当三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有同样的性质，即am·an·?·ar＝am
＋n＋?＋r
(m，n，?，r都是正整数)．
＋
②法则可逆用，即amn＝am·an(m，n都是正整数)．
谈重点 同底数幂的特征 “同底数幂”是指底数相同的幂，等号左边符合几个同底数幂相乘，等号右边，即结果为一个幂．注意不要忽视指数为1的因式．
【例1】 计算： (1)103×106；
(2)(－2)5×(－2)2；
＋＋
(3)an2·an1·a；
2
(4)(x＋y)(x＋y)3.
分析：(1)中的两个幂的底数是10；(2)中的两个底数都是－2；(3)中的三个幂的底数都是a；这三道题可以直接用同底数幂的运算性质计算．(4)要把x＋y看作一个整体，再运用同底数幂的乘法法则．
＋
解：(1)103×106＝1036＝109；
＋
(2)(－2)5×(－2)2＝(－2)52＝－27；
＋＋
(3)an2·an1·a
＋n＋2＋n＋1＋1
＝a＝a2n4； (4)(x＋y)2(x＋y)3
＋
＝(x＋y)23＝(x＋y)5. 2．幂的乘方
(1)法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘． (2)符号表示：(am)n＝amn(m，n都是正整数)．
(3)拓展：①法则可推广为[(am)n]p＝amnp(m，n，p都是正整数) ②法则可逆用：
amn＝(am)n＝(an)m(m，n都是正整数)
警误区 幂的乘方的理解 不要把幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．幂的乘方运算是转化为指数的乘法运算(底数不变)；同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算(底数不变)．
【例2】 计算： (1)(102)3；(2)(am)3；
(3)[(－x)3]2；(4)[(y－x)4]2.
分析：解决本题的关键是要分清底数、指数是什么，然后再运用法则进行计算，如(2)中的底数是a，(3)中的底数是－x，(4)中的底数是y－x.
×
解：(1)(102)3＝1023＝106； (2)(am)3＝a3m；
×
(3)[(－x)3]2＝(－x)32＝x6；
×
(4)[(y－x)4]2＝(y－x)42＝(y－x)8. 3.积的乘方
(1)法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． (2)符号表示：(ab)n＝anbn(n为正整数)．
(3)拓展：①三个或三个以上的数的乘积，也适用这一法则，如：(abc)n＝anbncn.a，b，c可以是任意数，也可以是幂的形式．
②法则可逆用：anbn＝(ab)n.(n为正整数)．
警误区 积的乘方的易错点 运用积的乘方法则易出现的错误有：(1)漏乘因式；(2)当
＋
每个因式再乘方时，应该用幂的乘方的运算性质，指数相乘，而结果算式为指数相加；(3)系数计算错误．
【例3】 计算：
(1)(－xy)3；(2)(x2y)2；
2
(3)(2×102)2；(4)(－ab2)2.
33
解：(1)(－xy)＝(－1)3x3y3＝－x3y3； (2)(x2y)2＝(x2)2·y2＝x4y2；
(3)(2×102)2＝22×(102)2＝4×104；
224
(4)(－ab2)2＝(－)2a2(b2)2＝a2b4.
3394．单项式乘以单项式
法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
谈重点 单项式乘以单项式要注意的三点 运用单项式与单项式相乘时要注意：(1)在计算时，应先确定积的符号；(2)注意按运算顺序进行；(3)不要丢掉只有一个单项式里含有的字母．
【例4】 下列计算正确的是( )． A．3x3·2x2y＝6x5 B．2a2·3a3＝6a5 C．(2x)3·(－5x2y)＝－10x5y D．(－2xy)·(－3x2y)＝6x3y 解析：A结果漏掉了字母“y”，C结果应为－40x5y，D结果应为6x3y2. 答案：B
5．单项式与多项式相乘 法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．即m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc.
单项式与多项式乘法法则的理解 单项式与多项式相乘，其实质就是乘法分配律的应用，将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式，再转化为同底数幂相乘．所以熟练掌握同底数幂乘法和单项式乘以单项式，是学好单项式乘以单项式的基础和关键．单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，运算时可以此来检验运算中是否漏乘．
【例5】 计算：
(1)(－3ab)(2a2b－ab＋2)；
(2)x(x－2)－2x(x＋1)－3x(x－5)． 解：(1)(－3ab)(2a2b－ab＋2)
＝(－3ab)(2a2b)＋(－3ab)(－ab)＋(－3ab)×2 ＝－6a3b2＋3a2b2－6ab；
(2)x(x－2)－2x(x＋1)－3x(x－5)＝x·x＋x·(－2)＋(－2x)x＋(－2x)·1＋(－3x)·x＋(－3x)·(－
2
5)＝－4x＋11x.
6．多项式与多项式相乘
法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即(a＋b)(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn.
警误区 多项式乘以多项式的注意点
多项式乘以多项式时，应注意以下几点：(1)相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；(2)多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积；(3)相乘后，若有同类项应该合并．
【例6】 计算： (1)(5a－2b)(2a＋b)； (2)(a2－a＋1)(a＋1)． 解：(1)(5a－2b)(2a＋b) ＝5a·2a＋5a·b－2b·2a－2b·b
22
＝10a＋5ab－4ab－2b
＝10a2＋ab－2b2； (2)(a2－a＋1)(a＋1) ＝a2·a＋a2·1－a·a－a·1＋1·a＋1 322
＝a＋a－a－a＋a＋1 ＝a3＋1.
7.同底数幂的除法 (1)法则
同底数幂相除，底数不变，指数相减． (2)符号表示
－
am÷an＝amn(a≠0，m，n都是正整数，并且m＞n)． (3)注意
①应用法则时，必须明确底数是什么，指数是什么，然后按同底数幂相除的法则计算；
－
②运算时要注意运算顺序，同时还要注意指数为“1”的情况，如：m5÷m＝m51，而不是
－
m5÷m＝m50.
(4)0次幂
任何不等于0的数的0次幂都等于1，即a0＝1(a≠0)．
谈重点 同底数幂的除法法则的理解 运用同底数幂相除应注意：(1)适用范围：两个幂的底数相同，且是相除的关系，被除式的指数大于或等于除式的指数，且底数不能为0；(2)底数可以是数，也可以是单项式或多项式；(3)该法则对于三个或三个以上的同底数幂相除仍然成立．
【例7】 计算：(1)a4÷a2；(2)(－x)5÷x3；
＋
(3)xn3÷xn；(4)(x＋1)4÷(x＋1)．
424－22
解：(1)a÷a＝a＝a；
－5
(2)(－x)÷x3＝－x5÷x3＝－x53＝－x2；
＋＋－
(3)xn3÷xn＝xn3n＝x3；
－
(4)(x＋1)4÷(x＋1)＝(x＋1)41＝(x＋1)3. 8．单项式除以单项式 (1)法则
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
(2)步骤
①系数相除；②同底数幂相除；③对于只在被除式里含有的字母的处理(连同指数作为商的一个因式)．
单项式除以单项式的结果仍为单项式．
2
【例8】 计算：(1)(－0.5a2bc2)÷(－ac2)；
5
(2)(6×108)÷(3×105)； (3)(6x2y3)2÷(－3xy2)2.
2
解：(1)(－0.5a2bc2)÷(－ac2)
5
15－5－
＝[(－)×(－)]a21bc22＝ab；
224(2)(6×108)÷(3×105)
－
＝(6÷3)×1085＝2×103； (3)(6x2y3)2÷(－3xy2)2
－－
＝36x4y6÷9x2y4＝(36÷9)x42y64＝4x2y2. 9．多项式除以单项式 (1)法则
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． (2)注意
①多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决；②运算时不能漏项；③运算时注
意符号的变化．
警误区 多项式除以单项式的注意点 (1)要注意商的符号，应弄清多项式中每一项的符号，相除时要带着符号与单项式相除；(2)多项式除以单项式的结果是一个多项式，多项式除以单项式是单项式乘以多项式的逆运算，可以用其进行检验．
【例9】 计算：(1)(6c2d－c3d3)÷(－2c2d)； (2)(24m3n－16m2n2＋mn3)÷(－8m)．
2332
解：(1)(6cd－cd)÷(－2cd)
22
＝(6cd)÷(－2cd)－(c3d3)÷(－2c2d)
1
＝－3＋cd2；
23
(2)(24mn－16m2n2＋mn3)÷(－8m)
322
＝(24mn)÷(－8m)－(16mn)÷(－8m)＋(mn3)÷(－8m)
1
＝－3m2n＋2mn2－n3.
8
10．整式乘法中的化简求值
整式乘法运算中的化简求值题的主要步骤有：(1)按照题目规定的运算顺序，对原式进行化简；(2)将对应的字母数值代入化简后的结果进行计算；(3)注意代入时，不要代错，在求值时，式子的运算符号和顺序都不变．
11．幂的运算法则的逆向运用
幂的运算法则是以等式形式出现的，受思维定势的影响，习惯于从左边到右边运用它，而忽视从右边到左边的应用，即逆向运用运算法则．其实，有些问题如果逆向运用幂的运算
＋
性质，解题会更加简捷．(1)amn＝am·an(m，n都是正整数)．(2)amn＝(am)n(m，n都是正整数)．(3)anbn＝(ab)n(n为正整数)．
12．整式的混合运算
在学习了整式的加减、乘除，乘法公式以后，就可以进行整式的混合运算了．整式的混合运算用到的知识点比较多，除了整式加减、乘除，乘法公式，还要用到去括号、乘法分配律等．
谈重点 整式的混合运算的认识
进行整式的混合运算首先要注意弄清运算顺序，先算什么再算什么，然后注意每一步运算所用到的法则、公式等要准确无误．
1
【例10】 当y＝－时，求代数式y(y2－6y＋9)－y(y2－8y－15)＋2y(3－y)的值．
6
2
解：y(y－6y＋9)－y(y2－8y－15)＋2y(3－y) ＝y3－6y2＋9y－y3＋8y2＋15y＋6y－2y2 ＝30y，
1
当y＝－时，
6
1
原式＝30y＝30×(－)＝－5.
6
31
【例11－1】 计算：(－)2 014·(3)2 014.
103
31
解：(－)2 014·(3)2 014
103310
＝(－×)2 014
103＝(－1)2 014＝1.
＋
【例11－2】 已知：3m＝6,9n＝2，求32m4n的值．
＋
解：32m4n＝32m·34n＝(3m)2·(32n)2 ＝(3m)2·(9n)2 ＝62×22
＝36×4＝144.
【例12】 先化简，再求值：
1
[(x＋y)(x－y)－(x－y)2＋2y(x－y)]÷(－2y)，其中，x＝－，y＝2.
2
22222
解：原式＝[x－y－(x－2xy＋y)＋2xy－2y]÷(－2y)＝(x2－y2－x2＋2xy－y2＋2xy－2y2)÷(－2y)
＝(－4y2＋4xy)÷(－2y)＝2y－2x，
1
当x＝－，y＝2时，
2
1
原式＝2y－2x＝2×2－2×(－)＝4－(－1)＝5.
2
13．整式乘法中的开放型问题
结论开放与探索：给出问题的条件，根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往呈现多样性，或者相应的结论的“存在性”需要进行推断，甚至探求条件在变化中的结论，这些问题都是结论开放性问题．它要求充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查我们的发散性思维和所学基本知识的应用能力．
14．与整式除法有关的求值问题 这类与整式的除法有关的求值问题，采用传统的方法很难求解，此时需根据题目的特点灵活变形采用整体代入法求解．首先应认真观察题目的特点，或者先将求值的式子化简再求值，或者同时将已知式和求值式化简．
【例13】 若a，b，k均为整数且满足等式(x＋a)(x＋b)＝x2＋kx＋36，写出两个符合条件的k的值．
解：因为(x＋a)(x＋b)＝x2＋kx＋36，所以x2＋(a＋b)x＋ab＝x2＋kx＋36，根据等式的对
??k＝a＋b，
应项的系数相等可得?
?ab＝36.?
又因为a，b，k均为整数，36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6＝(－1)×(－36)＝(－2)×(－18)＝(－3)×(－12)＝(－4)×(－9)＝(－6)×(－6)，
所以a，b对应的值共有10对，从而求出a＋b的值，即k的值有10个，分别为±37，±20，±15，±13，±12.只要写出其中的两个即可．
1
【例14】 已知x2－5x＋1＝0，求x2＋2的值．
x
2
解：将x＝0代入x－5x＋1得该式子的值不等于0，故x2－5x＋1＝0中的x≠0，则x2
1
－5x＋1＝0两边都除以x得，x＋－5＝0，
x
11111
即x＋＝5，又x2＋2＝(x＋)2－2，将x＋＝5代入可得x2＋2＝52－2＝23.
xxxxx