数学(文史类)参考解答及评分标准
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． DBDAC BACDA
10题提示：由ex?1≥ax?b对x∈R恒成立，显然a≥0，b≤ex?1-ax． 若a=0，则ab=0．
若a>0，则ab≤aex?1-a2x．设函数f(x)?aex?1?a2x，求导求出f(x)的最小值为
f(lna?1)?2a2?a2lna．
设g(a)?2a2?a2lna(a?0)，求导可以求出g(a)的最大值为
3g(e2)?13e， 211即ab的最大值是e3，此时a?e2，b?e2．
22二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．?333 12．-1 513．40 14．3021 15．①③④
15题提示：①容易证明正确．
②不正确．反例：f(x)?x在区间[0，6]上．
?m?m2得x0?1?(x0?1)m?m?x0?1， 22)． 又x0?(?1，1)所以实数m的取值范围是m?(0，③正确．由定义：x0?mx0?1?2lnb?lna．
b?a1lnb?lna1bb?aba??ln???要证明lnx0?，即证明： ，
b?aaabababab④正确．理由如下：由题知lnx0?令
b11?t?1，原式等价于lnt2?t??2lnt?t??0． att21?t2?2t?1(t?1)21???0， 令h(t)?2lnt?t?(t?1)，则h?(t)??1?2?22ttttt1所以h(t)?2lnt?t??h(1)?0得证．
t三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16．解析：
(1)f(x)?2m·n-1?2sin?x?cos?x?2cos2?x?1 =sin2?x?cos2?x?2sin(2?x?由题意知：T??，即
?4)． ???????????6分
2???，解得??1．?????????????7分 2?(2) 由(Ⅰ)知f(x)?2sin(2x?∵
?4)，
?6≤x≤
?4，得
7??3?≤2x?≤， 1244
又函数y=sinx在[∴ f(x)max?7?3?，]上是减函数， 1242sin ?2sin =17.解析：
7????2sin(?) ?????????????10分 1243????4cos3?2cos4sin3
3?1．???????????????????12分 2?2?t?0，2)．????????3分 (1) 由题知?解得1?t?2，即D?[1，t?1?0，?(2) g (x)=x2+2mx-m2=(x?m)2?2m2，此二次函数对称轴为x??m．??4分 ① 若?m≥2，即m≤-2时， g (x)在[1，2)上单调递减，不存在最小值；
?m)上单调递减，(?m，2]上递增， ②若1??m?2，即?2?m??1时， g (x)在[1，此时g(x)min?g(?m)??2m2?2，此时m值不存在； ③?m≤1即m≥-1时， g (x)在[1，2)上单调递增，
此时g(x)min?g(1)?1?2m?m2?2，解得m=1． ??????????11分 综上：m?1． ?????????????????????????12分
18.解析：
(1) AB?5，cos?ABC?1，BC?2， 515由余弦定理：AC2?BA2?BC2?2BA?BC?cos?ABC=52+22-2×5×2×=25，
? AC?5． ??????????????????????????3分
又?ABC?(0,?) ，所以sin?ABC?1?cos2?ABC?由正弦定理：
26， 5ABAC， ?sin?ACBsin?ABCAB?sin?ABC26?得sin?ACB?．???????????????6分
AC5(2) 以BA，BC为邻边作如图所示的平行四边形ABCE，如图， 则cos?BCE??cos?ABC??，BE=2BD=7， CE=AB=5，
在△BCE中，由余弦定理：
A
E
15D BE2?CB2?CE2?2CB?CE?cos?BCE．
1即49?CB2?25?2?5?CB?(?)，
C B 5解得：CB?4． ????????????????????????10分
1在△ABC中，AC2?BA2?BC2?2BA?BC?cos?ABC?52?42?2?5?4??33，
5即AC?33．?????????????????????????12分
19.解析：
(1) 由S3?9，a5?a3?a8，
23?2?d?9，?3a1?2得：?解得：a1?2，d?1．
?(a?4d)2?(a?2d)?(a?7d)，11?1n(2?n?1)n23??n． ?????????????5分 ∴ an?n?1，Sn?2222(2) 由题知cn?2n(??)．
n?1若使{cn}为单调递减数列，则
cn?1?cn?2n?1(=2n(22??)-2n(??) n?2n?142???)?0对一切n∈N*恒成立， ???????8分 n?2n?14242即： ????0???(?)max，
n?2n?1n?2n?12n2n242又=，????????10分 ?2??2(n?2)(n?1)n?3n?2n??3n?2n?1n142当n?1或2时， (?)max=．
3n?2n?11???．???????????????????????????12分
320.解析
(1)证明： 由f(x)?ex?ax?1，得f?(x)?ex?a．??????????1分 由f?(x)>0，即ex?a>0，解得x>lna，同理由f?(x)<0解得x 又∵ 函数f(x)恰有一个零点，则f(x)min?f(lna)?0， ??????? 4分 即elna?alna?1?0．?????????????????????? 5分 化简得：a?alna?1?0，即alna?a?1，于是lnaa?a?1， ∴ aa?ea?1． ????????????????????????? 6分 (2)解：由(Ⅰ)知，f(x)在x?lna取得最小值f(lna)， 由题意得f(lna)≥0，即a?alna?1≥0，??????????????8分 令h(a)?a?alna?1，则h?(a)??lna， 由h?(a)?0可得01． ∴ h(a)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，即h(a)max?h(1)?0， ∴ 当01时，h(a)<0， ∴ 要使得f(x)≥0对任意x∈R恒成立，a?1. ∴a 的取值集合为{1} ???????????13分 21.解： (1)由f(x)?m?nx?mxlnxmlnx?n?得(x?0)． f(x)?xexexm?n由已知得f?(1)??0，解得m=n． en2 又f(1)??，即n=2， ee∴ m=n=2．??????????????????????????3分 2(2) 由 (Ⅰ)得f?(x)?x(1?x?xlnx)， xe??)， 令p(x)?1?x?xlnx，x?(0，当x∈(0，1)时，p(x)?0；当x∈(1，+∞)时，p(x)?0， 又ex?0，所以当x∈(0，1)时，f?(x)?0； 当x∈(1，+∞)时，f?(x)?0， ∴ f(x)的单调增区间是(0，1)，f(x)的单调减区间是(1，+∞)．??8分 (3) 证明：由已知有g(x)?ln(x?1)??)， (1?x?xlnx)，x?(0，xx(1?e?2)， 于是对任意x?0，g(x)?1?e?2 等价于1?x?xlnx?ln(x?1)??)， 由(2)知p(x)?1?x?xlnx，x?(0，??)． ∴ p?(x)??lnx?2??(lnx?lne?2)，x?(0，易得当x?(0，e?2)时，p?(x)?0，即p(x)单调递增； 当x?(e?2，??)时，p?(x)?0，即p(x)单调递减． 所以p(x)的最大值为p(e?2)?1?e?2，故1?x?xlnx≤1?e?2． x?0， x?1??)时，q(x)单调递增，q(x)?q(0)?0． 因此，当x?(0，设q(x)?x?ln(1?x)，则q?(x)???)时，q(x)?x?ln(1?x)?0，即故当x?(0，∴ 1?x?xlnx≤1?e?2< x?1． ln(x?1)x(1?e?2)． ln(x?1)∴ 对任意x?0，g(x)?1?e?2． ?????????????????14分