形如求maxminf1?x1?,f2?x2?,???,fn?xn???．按其变元的个数可分为一??等的问题称为“双重最值问题”
元双重最值问题和多元双重最值问题．在本文中，提供一个常用的结论，取不同的值可得到很多命题．一个结论：设x，y?0，p，q，?为正常数，则
1??11?????（1）min?max?,,px?qy????p?q??1；
?xy???1??11????（2）max?min?,,px?qy????p?q???1． ?xy???证明：设t?max?,???11?1111,px??qy??，则t?，t??x?，y?，
xtty?xy?1pqp?q??1?p?q?t??p?q???1， 所以t?px?qy???????tttt?1?当且仅当x?y????p?q?1??11??11????时取等，即min?max?,,px?qy????p?q???1．
?xy???【题型综述】
一、一元双重最值问题 1．分段函数法：分类讨论，将函数写成分段函数形式，求函数值域即可． 例1：若x?R，求F?x??min?2x?1,x?2,?x?6?的最大值．
解：由2x?1?x?2?x?1，由x?2??x?6?x?2，由2x?1??x?6?x?5，故可得 3?2x?1?x?1??F?x???x?2?1?x?2?，对每一段求值域可知当x?2时，F?x?取得最大值4．
???x?6?x?2?2．数形结合法：分别画出几个函数图象，结合图象直接看出最值点，联立方程组求出最值．
2例2：（2007年浙江数学竞赛）设f?x??min2x?4,x?1,5?3x，求maxf?x?．
??
解：分别画出y?2x?4，y?x2?1，y?5?3x的图象， 得到f?x?的图象如粗体部分所示．
联立y?2x?4，y?x2?1解得???1,2?， 联立y?x2?1，y?5?3x解得??1,2?， 故由图可知当x??1时，f?x?的最大值为2．
二、多元一次函数的双重最值问题 1．利用不等式的性质 例3：设xi?0（i?1，2，3，4，5），最小值．
5?xi?1i?1，??max?x1?x2,x2?x3,x3?x4,x4?x5?，求?的
???x1?x21?解：由???x3?x4?3??x1?x2?x3?2x4?x5?1?x4?1???，
3???x?x45?当x4?0，x3?x5?111，x1?x2?时，?取得最小值． 3332．利用绝对值不等式
2例4：求函数f?x??x?a在区间??1,1?上的最大值??a?的最小值．
解：注意到f??1??f?1?，且2??a??f?0??f?1??a?1?a?a??1?a??1， 所以??a??111，当且仅当a?1?a，即a?时，??a?取得最小值． 2223．利用均值不等式
例5：（2002年北京高中数学竞赛）若a，b?0，求min?max?,,a2?b2??．
???11?ab????
解：设t?max?,,a2?b2?，则t??11?ab??1122，t?，t?a?b， ab11a2?b22ab22??2?t?32， 所以t????a?b??ababab3当且仅当a?b?1??11??，t有最小值32，即min?max?,,a2?b2???32． 32?ab???4．利用柯西不等式
????a2b2c??,,例6：若a，b，c?0且a?b?c?33，求min?max???．
??a?2b?3cb?2c?3ac?2a?3b??????a2b2c2解：设t?max?,,?，
a?2b?3cb?2c?3ac?2a?3b??a2b2c2则t?，t?，t?，由柯西不等式得
a?2b?3cb?2c?3ac?2a?3b?a?b?c??a?b?c?3?t?3a2b2c23t????，
a?2b?3cb?2c?3ac?2a?3b6?a?b?c?626????a2b2c23??,,?当且仅当a?b?c?3取等，即min?max?． ????a?2b?3cb?2c?3ac?2a?3b????65．分类讨论
例7：若a，b?0，求min?max?a,b,2????14?????的值． ab??解：设t?max?a,b,①当a?b时，t???1414???，则t?a，t?b，t??，
abab?141455????，2t?a??25，当且仅当a?b?5时取等； abaaaa141455②当b?a时，t?????，2t?b??25，当且仅当a?b?5时取等．
abbbbb综上，t?5，当且仅当a?b?5时取等，即min?max?a,b,????14??????5． ab??6．待定系数法
例8：若a，b?0，求min?max?a,b,????14?????的值． ab??