注意
商品打八折后的售价等于标价×0．8．
思想方法归纳
方程体现了数学建模思想，主要培养同学们的运算能力、观察能力和灵活运用所学知识解决实际问题的能力，体会数学的价值．主要解题思想方法如下：
1．转化思想
本部分内容在转化思想上的主要体现是利用方程的概念求代数式的值、巧解方程等． 例1 已知方程3x2－9x＋m＝0的一个解是1，则m的值为 ．
分析：根据方程解的定义，把方程的解x＝1代入方程成立，然后解关于m的方程即可．
解：把x=1代入原方程，得3×1－9×1＋m＝0，解得m=6． 答案：6
方法
解题依据是方程的定义，解题方法是把方程的解代入原方程，转化为关于待定系数的方程．
例2 如果4x2＋3x－5＝kx2－20 x ＋20 k是关于x的一元一次方程，那么k= ，方程的解是 ．
解析：要判断一个方程是不是一元一次方程，首先应先化为最简形式，原方程化为一般形式得(4－ k) x2＋23 x－5－20 k＝0．由一元一次方程的定义知4－ x＝0，解得k＝4．把k＝4代入方程得23 x－85＝0，解得x＝
技巧
判断一个方程是不是一元一次方程，应先化为最简形式，再根据一元一次方程的定义来判断．
2．方程思想
本部分内容方程思想的体现主要是列方程解决实际问题．
解决问题的关键是分析题意，找出题目中的相等关系，列出一元一次方程，解出方程，得出答案．
例3 某中学甲、乙两班学生在开学时共有90人，如果从甲班转入乙班4人，结果甲班的学生人数是乙班的80％，问开学时两班各有学生多少人?
解：设开学时甲班有x人，则乙班有(90－x)人，根据题意，得
x－4=(90－x ＋4)×80％，5x－20＝360－4x＋16，即x＝44，90－x＝46．
答：开学时甲班有44人，乙班有46人．
点拨
调配问题是：一方增多，另一方要减少，注意变化前后的关系是列方程的关键． 例4 如图3－5－1所示，在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器，内部底面积分别为80 cm2、100 cm2，且甲容器装满水，乙容器是空的．若将甲中的水全部倒入乙中，则乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了8 cm，则甲的容积为( ) A．1 280 cm3 B．2 560 cm3 C．3 200 cm D．4 000 cm
解析：设甲容器的高度为x cm，则乙容器中水的高度为(x－8)cm．根据两容器中水的体积不变可得80x=100(x－8)．解得x＝40．所以甲容器的容积为80×40＝3 200(cm3)．故选C．
答案：C 点拨
3
32
8523． 答案： 4；x＝
8523
在等积问题中，物体的形状改变了，但体积不变，根据体积相等列方程求解．
中考热点聚焦
考点1 一元一次方程的解
考点突破：在中考中对一元一次方程的解的考查，一般以填空题的形式出现．已知一元一次方程的解，求未知字母的值．解决此类问题的思路是：将解代入一元一次方程，转化成关于未知字母的方程，从而求解． 例1 (2010·江苏宿迁中考)已知5是关于x的方程3x－2a＝7的解，则a的值为 ． 解析：因为5是关于x的方程3x－2a＝7的解，所以3× 5－2a＝7．所以a＝4． 答案：4 例2 (20l0·湖南怀化中考)已知关于x的方程3x－2m＝4的解是x＝m，则m的值是 ．
解析：把x＝m代入3x－2m＝4，得3m－2m＝4，所以m＝4． 答案：4
考点2 解一元一次方程
考点突破：一元一次方程是初中数学方程与方程组的基础，是中考命题的重点，解一元一次方程一般难度不大，只要牢记解一元一次方程的步骤，就能求出正确的解． 例3 (2010·福建泉州中考)方程2x＋8＝0的解是 ．
解析：由2x＋8＝0，2x＝－8，得x＝－4． 答案：x＝－4 考点3 一元一次方程的应用
考点突破：一元一次方程在生活中应用广泛，一元一次方程的应用在中考中时常出现，解一元一次方程的应用题，要明确已知量与未知量，找出题目中的相等关系，就能列出元一次方程，进而求解．
一、选择题
1. （2011山东日照，4，3分）某道路一侧原有路灯106盏，相邻两盏灯的距离为36米，现计划全部更换为新型的节能灯，且相邻两盏灯的距离变为70米，则需更换的新型节能灯有（ ）
A．54盏 B．55盏 C．56盏 考点：一元一次方程的应用。 专题：优选方案问题。
D．57盏
分析：可设需更换的新型节能灯有x盏，根据等量关系：两种安装路灯方式的道路总长相等，列出方程求解即可．
解答：解：设需更换的新型节能灯有x盏，则 70（x-1）=36×（106-1） 70x=3850，
X=55
则需更换的新型节能灯有55盏．
故选B．
点评：本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．注意根据实际问题采取进1的近似数． 2. （2011山西，10，2分）―五一‖期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折（标
价的80%）销售，售价为2080元．设该电器的成本价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．x?1?30%??80%?2080 B． x?30%?80%?2080
0C． 208?30???x% D． x?30%?2080?80%
考点：一元一次方程
专题：一元一次方程
分析：成本价提高30%后标价为x?1?30%?，打8折后的售价为x?1?30%??80%．根据题意，列方程得x?1?30%??80%?2080，故选A． 解答：A
点评：找出题中的等量关系，是列一元一次方程的关键．
3. （2011?柳州）九（3）班的50名同学进行物理、化学两种实验测试，经最后统计知：物理实验做对的有40人，化学实验做对的有31人，两种实验都做错的有4人，则这两种实验都做对的有（ ）
A、17人 C、25人
B、21人 D、37人
考点：一元一次方程的应用。
分析：设这两种实验都做对的有x人，根据九（3）班的50名同学进行物理、化学两种实验测试，经最后统计知：物理实验做对的有40人，化学实验做对的有31人，两种实验都做错的有4人可列方程求解．
解答：解：设这两种实验都做对的有x人， （40﹣x）+（31﹣x）+x+4=50， x=21．
故都做对的有21人． 故选B．
点评：本题考查理解题意的能力，关键是以人数做为等量关系列方程求解．
4. （2011山东滨州，3，3分）某商品原售价289元,经过连续两次降价后售价为256元,设
平均每次降价的百分率为x,则下面所列方程中正确的是( ) A.289?1?x??256 B.256?1?x??289 C.289(1-2x)=256 D.256(1-2x)=289 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题．
【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），本题可参照增长率问题进行计算，如果设平均每次降价的百分率为x，可以用x表示两次降价后的售价，然后根据已知条件列出方程．
【解答】解：根据题意可得两次降价后售价为289（1-x）2， ∴方程为289（1-x）2=256． 故选答A．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，解决此类两次变化问题，可利用公式a（1+x）2=c，其中a是变化前的原始量，c是两次变化后的量，x表示平均每次的增长率． 本题的主要错误是有部分学生没有仔细审题，把答题案错看成B．
5. （2011?山西10，2分）―五一‖节期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080元．设该电器的成本价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A、x（1+30%）×80%=2080 B、x?30%?80%=2080
22 C、2080×30%×80%=x D、x?30%=2080×80%
考点：由实际问题抽象出一元一次方程。
分析：设该电器的成本价为x元，根据按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080元可列出方程． 解答：解：设该电器的成本价为x元， x（1+30%）×80%=2080． 故选A．
点评：本题考查理解题意的能力，以售价作为等量关系列方程求解．
6.（2011?铜仁地区4,3分）小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15km，可早到10分钟，每小时骑12km就会迟到5分钟．问他家到学校的路程是多少km？设他家到学校的路程是xkm，则据题意列出的方程是（ ）
A、C、
x15?1060?x12?560 D、
B、
x15x15?1060x12?x12?560
?10??5
考点：由实际问题抽象出一元一次方程。 专题：探究型。
分析：先设他家到学校的路程是xkm，再把10分钟、5分钟化为小时的形式，根据题意列出方程，选出符合条件的正确选项即可． 解答：解：设他家到学校的路程是xkm，
105∵10分钟=小时5分钟=小时，
6060∴故选A．
点评：本题考查的是由实际问题抽象出一元一次方程，解答此题的关键是把10分钟、5分
钟化为小时的形式，这是此题的易错点．
7. （2011广东深圳，6，3分）一件服装标价200元，若以6折销售，仍可获利20%，则这件服装的进价是（ ）
A、100元 B、105元 C、108元 D、118元
．
考点：一元一次方程的应用． 专题：方程思想．
分析：根据题意，找出相等关系为，进价的（1+20%）等于标价200元的60%，设未知数列
方程求解．
解答：解：设这件服装的进价为x元，依题意得：
（1+20%）x=200×60%，解得：x=100， 故选：A．
点评：此题考查的是一元一次方程的应用，解题的关键是找出相等关系，进价的（1+20%）
等于标价200元的60%．
二、填空题
1. （2011年湖南省湘潭市，13，3分）湘潭历史悠久，因盛产湘莲，被誉为―莲城‖．李红买了8个莲蓬，付50元，找回38元，设每个莲蓬的价格为x元，根据题意，列出方程为8x+38=50．
考点：由实际问题抽象出一元一次方程． 专题：应用题．
分析：等量关系为：买8个莲蓬的钱数+38=50，依此列方程求解即可． 解答：解：设每个莲蓬的价格为x元，根据题意得
8x+38=50．
故答案为：8x+38=50．
点评：考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据单价，数量，总价之间的关系列出方程
是解题的关键．
2. （2011江苏镇江常州，17，3分）把棱长为4的正方体分割成29个棱长为整数的正方体（且没有剩余），其中棱长为1的正方体的个数为 24 ． 考点：一元一次方程的应用；截一个几何体．
专题：分类讨论；方程思想．
分析：从三种情况进行分析：（1）只有棱长为1的正方体；（2）分成棱长为3的正方体和棱长为1的正方体；（3）分成棱长为2的正方体和棱长为1的正方体． 解答：解：棱长为4的正方体的体积为64，
如果只有棱长为1的正方体就是64个不符合题意排除；
如果有一个3×3×3的立方体（体积27），就只能有1×1×1的立方体37个，37+1＞29，不符合题意排除；
所以应该是有2×2×2和1×1×1两种立方体．
则设棱长为1的有x个，则棱长为2的有（29﹣x）个，
解方程：x+8×（29﹣x）=64， 解得：x=24．
所以小明分割的立方体应为：棱长为1的24个，棱长为2的5个．
故答案为：24． 点评：本题考查了一元一次方程组的应用，立体图形的求解，解题的关键是分三种情况考虑，得到符合题意的可能，再列方程求解．
3. （2011陕西，14，3分）一商场对某款羊毛衫进行换季打折销售．若这款羊毛衫每件按
原销售价的8折（即按原销售价的80％）销售，售价为120元，则这款羊毛衫每件的原销售价为 元． 考点：一元一次方程的应用。 专题：销售问题；方程思想。
分析：此题的相等关系为，原价的80%等于销售价，依次列方程求解．