第一章习题
1．1 一人自愿点出发，25s内向东走了30m，又10s内向南走了10m，再15s内向正西北
走了18m。求：
⑴ 位移和平均速度 ⑵ 路程和平均速率 解：
北 C D B O A 西东
由图所示，人的移动曲线是从O点出发，到A点，再到B点，C点。 ⑴ 位移：OC
???????? OA?30m，AB?10m，BC?18m
由于是正西北方向，所以?ABD??ADB?45?
???? BD?102m
南????????2????2????2????????OC?CD?OD?2ODCDcos45?
?18?102??22??30?10??2?18?102??30?10??22?? ?1324?7202?305.92 OC?17.5m
平均速度的大小为：v? ⑵ 路程应为：
?????r17.5??0.35?ms? ?t50???????????? s?OA?AB?BC?58m
平均速率为1.16ms 1．2
有一质点沿着x轴作直线运动，t时刻的坐标为x?4.5t?2t，试求：
23 ⑴ 第2秒内的平均速度 ⑵ 第2秒末的瞬时速度 ⑶ 第2秒内的路程。 解：⑴ 当t?1s时，x1?2.5m 当t?2s时，x2?18?16?2m
1
平均速度为 v?x2?x1?2?2.5??0.5?ms? ⑵ 第2秒末的瞬时速度为 v?dx?9t?6t2??6?ms?
t?2dt ⑶ 第2秒内的路程：（在此问题中必须注意有往回走的现象） 当t?1.5s时，速度v?0，x2?3.375m 当t?1s时，x1?2.5m 当t?2s时，x3?2m
所以路程为：3.375?2.5?3.375?2?2.25m 1．3
质点作直线运动，其运动方程为x?12t?6t，采用国际单位制，求：
2 ⑴ t?4s时，质点的位置，速度和加速度
⑵ 质点通过原点时的速度 ⑶ 质点速度为零时的位置
⑷ 作位移，速度以及加速度随着时间变化的曲线图。
解：⑴ 由运动方程x?12t?6t，可得速度，加速度的表达式分别为
2dxdv?12?12t a???12 dtdt 所以当t?4s时，质点的位置，速度和加速度分别为
v?2 x??48m；v??36ms；a??12ms
⑵ 质点经过原点的时刻t1?2s ，t2?0s 此时的速度分别为 v1??12?ms? v2?12?m?s
⑶ 质点速度为零对应的t?1s，位置为x?6m 1．4
32质点沿直线运动，速度v?t?2t?2?ms?，如果当t?2s时，x?4m，求t?3s时质点的位置，速度和加速度。
解： 速度v?t?2t?2?ms?，位置，加速度的表达式分别为
32t42t3?2t?C x???t?2t?2?dx??4332 当t?2s时，x?4m，即x?4?1628?4?C?4，可得C?? 33t42t328?2t?，a?3t2?4t x??433 2
当t?3s时，质点的位置，速度和加速度分别为
x?815428243?112??6??24??34.9m 43312v?27?18?2?47?ms2? a?27?12?39?ms2?
1．5
质点的运动方程为x?3t?5，y?2t2?3t?4，采用国际单位制，试求：
⑴ t?1s和t?2s时刻的位置矢量及t?1?2s内质点的位移
⑵ t时刻的速度和加速度
⑶ t?4s时质点运动速度和加速度的大小和方向
??? 解：⑴ 当t?1s时，x1?8m，y1?1m，所以r1?8i?j ??10? 当t?2s时，x1?11m，y1?10m，所以r2?11ij ?? 质点的位移为r?r2?r1?3i?9j
⑵ t时刻的速度v和加速度a分别为 vx???????dxdy?3?ms? vy??4t?3?ms? dtdtdvydvx?0 ay??4?ms2? ax?dtdt???jms2 v?3i??4t?3??j a?4??? ⑶ t?4s时质点运动速度和加速度分别为
????19? v?3i??4t?3??j?3ij 大小为370?19.24ms
a?4?jms2 大小为4ms2 1.6 解：由加速度与时间的曲线图a?t可得到质点的运动情况为 0?t?t1 为匀加速直线运动 t1?t?t2 为匀速直线运动 t?t2 为匀加速直线运动
根据上述分析可以得出速度和位移与时间有关的表达式，从而画出曲线。 1.7 解：质点的加速度a?4?t 速度v的表达式为
2??ms?，初始条件为x2t?0?9m，vt?0?2ms
t3 v?v0??adt?v0???4?t?dt?2?4t?
003tt2 3
质点的运动方程x为：
3 x?xtt?t?10??0vdt?x0??0??2?4t?3??dt?9?2t?2t2?12t4
1.8 证明：
由题可知：
dvdt??kv2??kvdxdt 所以有： dv??kvd x变换为：
dvv??kdx 两边同时积分就可得到：?vdvv??x0v?0kdx lnvvvv0??kx 即 ln??kx 所以有v?v0e?kxv 01.9 解：
y v0 x ? g?
炮弹的运动轨迹如上图的虚线所示，如图建立坐标轴x,y。
将初速度v??v0x?v0cos?0沿坐标轴分解可得??v 0y?v0sin?加速度g沿坐标轴分解可得 ??ax??gsin??a y??gcos? 在任意时刻t的速度为 ??vx?v0x?axt?v0cos??gtsin??vy?v0y?ayt?v0sin??gtcos? ?x?vt?1at2?vtcos??1gt2sin?任意时刻t的位移为 ??0x?2x02???y?vyt?12ayt2?v0tsin??12gt20cos?⑴ 炮弹射程为y?0时，所对应的x。 y?0对应的时刻t?2v0sin?gcos?，代入可得
x?2v20sin??cos?cos??sin?sin??2v20sin?cos?????gcos2??gcos2? 4
⑴
⑵
⑶⑷
⑵ 将t?2v0sin?代入方程组⑶可得
gcos?2v0sin??v?vcos??gsin??v0cos??2v0sin?tan?0?xgcos?? ?
2vsin??vy?v0sin??g0cos???v0sin??gcos?? 速度的大小为 v? ?
vx2?vy2=v02?4v02cos?sin?tan??4v02sin2?tan2? v0cos2??4cos?sin?cos?sin??4sin2?sin2? cos?v0cos2??4cos?sin?cos?sin??4sin2??1?cos2??cos?v?0cos2??4sin?cos?sin??????4sin2? cos?? 方向可以由 tan??vyvx?2ta?n? otc? 1.10 解：
??arctan?2tan??cot??
y v0 ?v g?h hmax
由于在忽略空气阻力的情况下，小球只受到重力的作用，做斜抛运动。设球抛出时
的初速度为v0，分量分别为v0x，v0y。根据题意有：
x
?vx?v0x?3.98ms x轴做匀速直线运动
??9.8?jms，由任意时刻速度与位移的公 在h?14.7m的高度，速度为v?3.98i式可得：
????vy?v0y?gt?9.8?v0y?9.8t? ? 代入数据可得12?2 ⑴
y?v0y?gt?14.7?v0y?4.9t??2 5