高等数学测试题（3）
一、解答下列各题(每小题5分，共25分)
1．设u?e
2．求曲线x?sin2t，y?sintcost，z?cos2t在对应于t?程.
3．计算曲线积分
4．求函数z?x2?xy?y2?9x?6y?20的极值.
5．求微分方程y???3y?3xex的一个特解.
二、解答下列各题(每小题6分，共24分)
1． 在x轴上求一点，使它到点M(0,1,?2)的距离等于它到平面6x?3y?2z?9的距离.
2． 函数z?z(x,y)由方程2xz?2xyz?ln(xyz)?0所确定，求
3．改变二次积分
xsinycosz，求全微分du.
?4的点处的切线和法平面方
? L(3y?ex)dx?2xdy，式中L是曲线y?ex上从(0,1)到(1,e)的一段.
?z?z,. ?x?y? 10dx?f(x,y)dy??dx?0 1x 2 2?x0f(x,y)dy的积分次序，其中f(x,y)连续.
1
4． 计算曲面积分
??(y?z?x)dydz?(x?y?z)dzdx?(x?y?z)dxdy,其中?是由
?|x|?1,|y|?1,|z|?1所确定的立体的表面外侧.
三、（9分）计算三重积分I?2222?，其中由zdVx?y?z?2z所确定. ????
四、（9分）求半径为R的质量分布均匀的半球面的重心坐标.
五、（9分）求微分方程y???4y??3y?0的积分曲线方程，使其在点(0,2)与直线2x?2y?9?0相切.
六、（9分）设曲面方程为F(z?ax,z?by)?0（a,b为正常数）.F(u,v)具有一阶连续的偏导
数，且Fu2?Fv2?0，试证明此曲面上任一点处法线恒垂直于一常向量.
七、（9分）求微分方程xy???y?(lny??1?lnx)满足y(1)?2, y?(1)?e的特解.
n是L的单位外法线向量，八、（6分）设L是光滑的正向简单闭曲线，所围的区域记为D，u(x,y)是具有二阶连续偏导数的二元函数，试证：
??u?2u?2uds???(2?2)dxdy ??n?yLD?x
参考答案
2
一、1.du?exsinycoszdx?excosycoszdy?exsinysinzdz。
???111??,y?,z?)?(1,0,?1)。 ,,?,当t?时,??(x4?222?111x?y?z?2?2?2,法平面,x?z=0。 切线 10?12.点?3.原式??2edx?2xedx?2xe01xxx10?2e。
?zx?2x?y?9?04.由? 得驻点(－4,1)。
z?2y?x?6?0?y 在(－4,1)处,AC?B2?3?0,A?2?0,zmin(?4,1)??1。
33*3x5.?2?3?0,???3i,y??(Ax?B)?ex， A?,B??,y?(2x?1)e
4886x?9822二、1.设所求点为(x,0,0),则x?1?4?，解得x??2或x??；
134912?y?zz?zz(2xyz?1)??,?2.；3.原式??dy?f(x,y)dx；
0y?xx?yy(2xz?2xyz?1)4.由高斯公式得,原式?三、I????dv?8。
v?208z2?(2z?z2)dz??。
5R2?x2?y2，z?RR(0,0,)。 ，重心为
22?R22?R22123xx?C??五、r?4r?3?0,r,,且,, , y(0)?2y(0)?1?3,r?1y?Ce?Ce11212251C2?， y?(5ex?e3x)
22?六、令z?ax?u, z?by?v,则,曲面法向量 n?{?aFu,?bFv,Fu?Fv}
????? 取A?{b,a,ab} 则n?A?0, 从而n?A。
pp七、令y??p, 则y???p?代入原方程， xp??p(lnp?1?lnx)，即 p??(ln?1),
xxpdu?lnC1x，由y?(1)?e ，得C1?1。 令,?u， 得?ulnuxy?ex(x?1)?C2, 得y(1)?2 得 C2?2
四、设半球面方程为?:z????zdS?R??dxdyD?八、
??u?u??u??u?u???u?u?u??,??n，ds??,???dy,?dx???dx?dy ?n??x?y??n?y?x??x?y???2u?2u??u?u?uds???dx?dy????2?2?dxdy????n?y?x?x?y?LLD?
(2002.6.17)
3
一、解答下列各题(每小题6分，共60分)
1． 设点p(3,?6,2)为从原点到一平面的垂足，求该平面的方程.
2． 求过点M(1,?2,3)的平面，使它与平面?:x?y?z?3?0垂直，且与直线
L:x?y?z平行.
3． 设
z?xy2，求dz.
4． 在曲面z?3x2?2y2上求一切平面，使该切平面垂直于直线5． 求曲线x?xy??z?1. 32t?,y?t?x0,z?ln(sint)上，对应t??44?x022点处的切线方程.
6． 改变二次积分7． 计算I??20dx?f(x,y)dy??dx?f(x,y)dy的积分次序，其中f(x,y)连续.
222?，其中积分域是：zdVx?y?z?2z. ????8． 计算曲线积分9． 计算曲面积分
部分曲面.
1xdy?ydx22Lx?2y?2x?，其中是椭圆周正向. 22?2Lx?y??|y|dS，其中?为锥面z??x2?y2被圆柱面x2?y2?2x截下的
1的通解. 21?x二、（7分）求函数z?x2?xy?y2?9x?6y?20极值. 三、（7分）函数z?z(x,y)由方程F(x?z,y?z)?0所确定，其中F(u,v)具有
?z?z?连续的一阶偏导数，且Fu??Fv??0，求. ?x?y10. 求微分方程xy??y?22四、（7分）设?为上半球面z?1?x?y的外侧，计算曲面积分。
333ydydz?xdzdx?(z?1)dxdy. ???五、（7分）计算曲线积分
LABxx其中LAB为以AB为直径的从A(0,0)esinydx?(ecosy?4x)dy，?到B(2a,0)(a?0)上半圆周.
六、（7分）求微分方程y???y??x的通解.
七、（5分）已知连续可微函数F(t)满足
2??F(x2?y2)???dxdy (x?0,y?0,t?0)x?1?22F(t)??2?? x?y?x?y2?t2???? (t?0)? 0 试求函数F(t).
4
参考答案（02.6.17）
一、1.3(x?3)?6(y?6)?(z?3)?0，
2. n??1,1,?1??(1,1,1)?(2,?2,0)，平面方程为 (x?1)?(x?2)?0 。 3.dz?y2xy2??1dx?2xyylnxdy。
115,?,)，所以22424. 法向量为n?(6x,4y,?1)平面方向数为nl?(3,2,1)，两者平行得P(?得法平面方程为：3(x?)?2(y?)?(z?)?0 .
12125411y?11?2?2?z.6．2dy4?yfdx。 5.切向量为??(1,1,0),P(,,0)，切线方程为?1?y22110224?7.用先二后一法得I??zdz??dxdy???z(2z?z2)dz ?。
003Dzx?y2?x28.验证Py?Qx?2，L不包含原点，故??0。 2?y?xL9.第一型面积分
???D|y|2dxdy?22??ydxdy ?22?D*20d??2cos?0?2sin?d??。
23dydxc???y?,用常数变易法求非齐方程的特解yxxc?(x)1arctanxcy??。 ??c(x)?arctanx?c,非齐方程的通解为
xxxx(x2?1)???20??zx?2x?y?9?zx?0,令?,，得P(?4,1)，H??二、??正定，zmin(?4,1) z??x?2y?6z?002?????y?yF1三、设z?z(x,y)，方程两边对x求导得F1(1?zx)?zxF2?0?zx?，方程两边对y求
F1?F2F2导得?zyF1?F2(1?zy)?0?zy? ,所以 zx?zy?1.
F1?F210．齐次方程的通解为四、
?????????????3???zdv???dxdy?3?z2dz??dxdy?2?
?21?l?uVD0Dz?3??z2(1?z2)dz?2??01五、
?LAB??LAB??AO??OA2?12??2??. 55????4d??0??2a2?.
六、齐次方程的特征方程：
????0???0,??1，非齐方程的特解形式为：
D21y*?x(ax2?bx?c),a?,b?1,c?2,非齐方程的通解为
31y?c1?c2ex?x(x2?x?2)
3??ttF(r)2七、F(t)??2d??rcos?[1?2]rdr??2d??cos?[r?F(r)]dr，即
0000r 5
F(t)??[r2?F(r)]dr
0t对t求导得F??t2?F,??1?0????1,y*?at2?bt?c,a?1,b??2,c?2
F(t)?ce?t?t2?2t?2,又F(0)?c?2?0?c??2,所以F(t)??2e?t?t2?2t?2
6