教学课件 §3.2 导数的应用
考纲解读
考点 考纲内容 要求 2013 22(2),5分 21(文), 4分 22(2),5分 8,5分 21(文), 约5分 浙江省五年高考统计 2014 2015 2016 22(1),5分 21(文), 约8分 03(2) (自选), 5分 2017 7,4分 20(2), 约9分 1.了解函数单调性和导数的关1.导数与单系. 调性 2.会用导数研究函数的单调性. 3.会求函数的单调区间. 1.了解函数极值的概念及函数在某点取得极值的条件. 2.导数与极2.会用导数求函数的极大值、极值、最值 小值. 3.会求闭区间上函数的最大值、最小值. 掌握 掌握 22,14分 21(文), 约7分 分析解读 1.导数是高考的必考内容.利用导数来研究函数的单调性、极值、最值等问题是命题的热点.
2.考查重点是导数与极值、最值、单调区间、图形形状的联系,利用导数证明不等式,求函数零点等,属于难题.
3.预计2019年高考中,导数的考查必不可少,复习时要引起高度重视.
五年高考
考点一 导数与单调性
x
1.(2017山东文,10,5分)若函数ef(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性质的是( )
-x2
A.f(x)=2 B.f(x)=x
-x
C.f(x)=3 D.f(x)=cos x 答案 A
2.(2015课标Ⅱ,12,5分)设函数f '(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf '(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( ) A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞) 答案 A
3.(2017江苏,11,5分)已知函数f(x)=x-2x+e-,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a)≤0,则实数a的取值范围是 .
3x2
答案
2
x
4.(2015浙江自选,“复数与导数”模块,03(2),5分)设函数f(x)=(x+2x-2)e(x∈R),求f(x)的单调递减区间.
2x
解析 对f(x)求导,得f '(x)=(x+4x)e. 由f '(x)<0,解得-4 所以f(x)的单调递减区间为(-4,0). 2x 5.(2017课标全国Ⅱ文,21,12分)设函数f(x)=(1-x)e. 1 (1)讨论f(x)的单调性; (2)当x≥0时, f(x)≤ax+1,求a的取值范围. 解析 本题考查函数的单调性,恒成立问题. (1)f '(x)=(1-2x-x2)ex . 令f '(x)=0,得x=-1-或x=-1+ . 当x∈(-∞,-1-)时, f '(x)<0; 当x∈(-1-,-1+ )时, f '(x)>0; 当x∈(-1+ ,+∞)时, f '(x)<0. 所以f(x)在(-∞,-1-),(-1+ ,+∞)单调递减, 在(-1-,-1+ )单调递增. (2)f(x)=(1+x)(1-x)ex . 当a≥1时,设函数h(x)=(1-x)ex,h'(x)=-xex <0(x>0),因此h(x)在[0,+∞)单调递减,而h(0)=1, 故h(x)≤1,所以f(x)=(x+1)h(x)≤x+1≤ax+1. 当00(x>0),所以g(x)在[0,+∞)单调递增,而g(0)=0,故ex ≥x+1.当0 -ax-1 =x(1-a-x-x2 ),取x0= , 则x2 0∈(0,1),(1-x0)(1+x0)-ax0-1=0,故f(x0)>ax0+1. 当a≤0时,取x0=, 则x2 0∈(0,1), f(x0)>(1-x0)(1+x0)=1≥ax0+1. 综上,a的取值范围是[1,+∞). 6.(2016山东,20,13分)已知f(x)=a(x-ln x)+,a∈R. (1)讨论f(x)的单调性; (2)当a=1时,证明f(x)>f '(x)+对于任意的x∈[1,2]成立. 解析 (1)f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)=a--+=. 当a≤0时,x∈(0,1)时,f '(x)>0, f(x)单调递增, x∈(1,+∞)时,f '(x)<0,f(x)单调递减. 当a>0时,f '(x)=. ①01, 2 当x∈(0,1)或x∈时,f '(x)>0, f(x)单调递增,当x∈时,f '(x)<0, f(x)单调递减. ②a=2时,=1,在x∈(0,+∞)内,f '(x)≥0,f(x)单调递增. ③a>2时,0<<1, 当x∈或x∈(1,+∞)时, f '(x)>0,f(x)单调递增,当x∈时,f '(x)<0,f(x)单调递减. 综上所述, 当a≤0时,f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减; 当0 当a=2时,f(x)在(0,+∞)内单调递增; 当a>2时,f(x)在内单调递增,在内单调递减,在(1,+∞)内单调递增. (2)由(1)知,a=1时, f(x)-f '(x)=x-ln x+- =x-ln x++--1,x∈[1,2]. 设g(x)=x-ln x,h(x)=+--1,x∈[1,2]. 则f(x)-f '(x)=g(x)+h(x). 由g'(x)=≥0,可得g(x)≥g(1)=1. 当且仅当x=1时取得等号.又h'(x)= . 设φ(x)=-3x2 -2x+6,则φ(x)在x∈[1,2]内单调递减. 因为φ(1)=1,φ(2)=-10, 所以?x0∈(1,2),使得x∈(1,x0)时,φ(x)>0,x∈(x0,2)时,φ(x)<0. 所以h(x)在(1,x0)内单调递增,在(x0,2)内单调递减. 由h(1)=1,h(2)=,可得h(x)≥h(2)=, 当且仅当x=2时取等号. 3 所以f(x)-f '(x)>g(1)+h(2)=, 即f(x)>f '(x)+对于任意的x∈[1,2]成立. 7.(2015课标Ⅱ,21,12分)设函数f(x)=e+x-mx. (1)证明: f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增; (2)若对于任意x1,x2∈[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1,求m的取值范围. mx 解析 (1)证明:f '(x)=m(e-1)+2x. mx 若m≥0,则当x∈(-∞,0)时,e-1≤0, f '(x)<0; mx 当x∈(0,+∞)时,e-1≥0, f '(x)>0. mx 若m<0,则当x∈(-∞,0)时,e-1>0,f '(x)<0; mx 当x∈(0,+∞)时,e-1<0, f '(x)>0. 所以,f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增. (2)由(1)知,对任意的m,f(x)在[-1,0]单调递减,在[0,1]单调递增,故f(x)在x=0处取得最小值.所以对于任意 mx 2 x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|≤e-1的充要条件是 即 t ① 设函数g(t)=e-t-e+1, t 则g'(t)=e-1. 当t<0时,g'(t)<0;当t>0时,g'(t)>0.故g(t)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增. -1 又g(1)=0,g(-1)=e+2-e<0,故当t∈[-1,1]时,g(t)≤0. 当m∈[-1,1]时,g(m)≤0,g(-m)≤0,即①式成立; m 当m>1时,由g(t)的单调性,g(m)>0,即e-m>e-1; -m 当m<-1时,g(-m)>0,即e+m>e-1. 综上,m的取值范围是[-1,1]. 教师用书专用(8—17) 8.(2017课标全国Ⅲ理,21,12分)已知函数f(x)=x-1-aln x. (1)若f(x)≥0,求a的值; (2)设m为整数,且对于任意正整数n,解析 本题考查导数的综合应用. (1)f(x)的定义域为(0,+∞). … ①若a≤0,因为f=-+aln 2<0,所以不满足题意; ②若a>0,由f '(x)=1-=知,当x∈(0,a)时, f '(x)<0;当x∈(a,+∞)时, f '(x)>0.所以f(x)在(0,a)单调递减,在(a,+∞)单调递增.故x=a是f(x)在(0,+∞)的唯一最小值点. 由于f(1)=0,所以当且仅当a=1时, f(x)≥0.故a=1. (2)由(1)知当x∈(1,+∞)时,x-1-ln x>0. 令x=1+,得ln<. 4 从而ln+ln+…+ln<++…+=1-<1. 故… 而>2, 所以m的最小值为3. 32 9.(2017江苏,20,16分)已知函数f(x)=x+ax+bx+1(a>0,b∈R)有极值,且导函数f '(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值) (1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域; 2 (2)证明:b>3a; (3)若f(x), f '(x)这两个函数的所有极值之和不小于-,求a的取值范围. 解析 本小题主要考查利用导数研究初等函数的单调性、极值及零点问题,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力. (1)由f(x)=x+ax+bx+1,得f '(x)=3x+2ax+b=3 322 +b-. 当x=-时, f '(x)有极小值b-. 因为f '(x)的极值点是f(x)的零点, 所以f =-+-+1=0,又a>0,故b=+. 因为f(x)有极值,故f '(x)=0有实根,从而b-=(27-a)≤0,即a≥3. 当a=3时, f '(x)>0(x≠-1),故f(x)在R上是增函数, f(x)没有极值; 3 当a>3时, f '(x)=0有两个相异的实根x1=, x2=. (-(x2,+∞x1 (x1,x2) x2 ∞,x1) ) f '(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ x 列表如下: 故f(x)的极值点是x1,x2. 从而a>3. 因此b= +,定义域为(3,+∞). 5