19．（本小题满分14分）
x2y2给定椭圆C：2?2?1(a?b?0)，称圆心在原点O，半径为a2?b2的圆是椭圆C的“准圆”．若
ab椭圆C的一个焦点为F(2，0)，其短轴上的一个端点到F的距离为3． （Ⅰ）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；
N． l2交“准圆”于点M，（Ⅱ）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2的方程并证明l1?l2； （ⅰ）当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1，（ⅱ）求证：线段MN的长为定值．
yl 2 l1 P M O Nx
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20．（本小题满分13分）
34，?，n）作为新数列{bn}的对于数列{an}，把a1作为新数列{bn}的第一项，把ai或?ai（i?2，，2345的一个生成数列是第i项，数列{bn}称为数列{an}的一个生成数列．例如，数列1，，，，1，?2，?3，，45．
已知数列{bn}为数列{1}(n?N?)的生成数列，Sn为数列{bn}的前n项和． n2（Ⅰ）写出S3的所有可能值；
?1，n?3k?1，??2n(k?N)，求Sn． （Ⅱ）若生成数列{bn}满足的通项公式为bn??1??，n?3k?1，n??27 / 12
2014年石景山区高三统一测试 高三数学（文科）参考答案
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分． 1 2 3 4 5 6 7 8 题号 A C B D B B C A 答案 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．两空的题目，第一空2分，
第二空3分．
9 10 11 12 13 14 题号
n ；2?x?R，53 y?2x?2 n(n?1)-i 答案 40 13 x 22e?02
三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为3a?2bsinA，
所以3sinA?2sinBsinA，………………………………2分
因为0?A??，所以sinA?0，
3，………………………………4分 2因为0?B??，且a?b?c，所以B?60?．………………………………6分 （Ⅱ）因为a?2，b?7，
1222所以由余弦定理得(7)?2?c?2?2?c?，即c2?2c?3?0，
2所以sinB?………………………………8分
解得c?3或c??1（舍），
所以c边的长为3．………………………………10分
11333．………………………………13分 S?ABC=acsinB??2?3??222216．（本小题满分13分）
60)的频率为0.008?10?0.08，………………………………2分 解：（Ⅰ）分数在[50，60)之间的频数为2，所以全班人数为由茎叶图知：分数在[50，分
2?25．……………………40.0890)之间的频数为25?22?3； （Ⅱ）分数在[80，3?10?0.012．…………………………7分 2590)之间的3个分数编号为a1，100)之间的2个分数编号为b1，a2，a3，[90，b2，……8分 （Ⅲ）将[80，100)之间的试卷中任取两份的基本事件为： 在[80，(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，
90)间的矩形的高为频率分布直方图中[80，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)共10个，………………………………10分
100)之间的基本事件有7个， 其中，至少有一个在[90，7100)之间的概率是?0.7．…………………………13分 故至少有一份分数在[90，10
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17．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）取AC中点G，连结FG，BG，
?F，G分别是AD，AC的中点，
D
?FG∥CD，且FG?1DC?1． 2F
?BE∥CD，………………………………2分 ?FG与BE平行且相等． E ?四边形BEFG为平行四边形，
G ?EF∥BG．………………………………3分
又EF?平面ABC，BG?平面ABC． C
H ?EF∥平面ABC．………………………………4分
（Ⅱ）??ABC为等边三角形，G为AC的中点， B ?BG?AC．………………………………5分 又DC?平面ABC，BG?平面ABC．
?DC?BG，………………………………6分 又AC?DC?C，
?BG?平面ADC．………………………………7分
?EF∥BG，?EF?平面ADC，………………………………8分 ?EF?平面ADE，
?平面ADE?平面ADC．………………………………10分 （Ⅲ）取BC中点H，连结AH． ?AB?BC?AC， ?AH?BC．
?DC?平面ABC，AH?平面ABC ?DC?AH， 又BC?DC?C，
?AH?平面BCDE，
3，………………………………12分 ?AH是四棱锥A?BCDE的高，且AH?211(1?2)?133．………………………………14分 V?S梯形BCDE?AH????3322418．（本小题满分13分）
A
??)．………………………………1分 解：（Ⅰ）f(x)?x?2alnx (a?0)的定义域为(0，2a22x2?2a22(x?a)(x?a)?．………………………………2分 f?(x)?2x??xxx?f(x)在x?1处取得极值， ?f?(1)?0，解得a?1或a?－．………………………………3分 1（舍）
1?，f?(x)?0；x??1，???，f?(x)?0， 当a?1时，x??0，所以a的值为1．………………………………4分 （Ⅱ）令f?(x)?0，解得x?a或x??a（舍）．………………………………5分
??)内变化时，f?(x)，f?x?的变化情况如下： 当x在(0，22x f?(x) f(x) (0，a) ? ↘ a 0 极小值 (a，??) ? ↗ ??)，单调递减区间为(0，a)．…………………………8分 由上表知f(x)的单调递增区间为(a，9 / 12
e]上没有零点，只需在[1，e]上f(x)min?0或f(x)max?0， （Ⅲ）要使f(x)在[1，e]上f(x)min?0． 又f(1)?1?0，只须在区间[1，e]上单调递减， （ⅰ）当a?e时，f(x)在区间[1，f(x)min?f(e)?e2?2a2?0，
2e与a?e矛盾．………………………………10分 2a)上单调递减，在区间(a，e]上单调递增， （ⅱ）当1?a?e时，f(x)在区间[1，f(x)min?f(a)?a2(1?2lna)?0，
解得0?a?解得0?a?e，
所以1?a?e．………………………………12分
e]上单调递增，f(x)min?f(1)?0，满足题意． （ⅲ）当0?a?1时，f(x)在区间[1，综上，a的取值范围为0?a?19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）?c?e．………………………………13分
2，a?3，?b?1，
x2?椭圆方程为?y2?1，………………………………2分
3准圆方程为x2?y2?4．………………………………3分
2)， （Ⅱ）（ⅰ）因为准圆x2?y2?4与y轴正半轴的交点为P(0，2)且与椭圆相切的直线为y?kx?2， 设过点P(0，?y?kx?2，?所以由?x2得(1?3k2)x2?12kx?9?0． 2??y?1，?3因为直线y?kx?2与椭圆相切，
所以??144k2?4?9(1?3k2)?0，解得k??1，………………………………6分
y??x?2．………………………………7分 l2方程为y?x?2，所以l1，?kl1?kl2??1，?l1?l2．………………………………8分
l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在， （ⅱ）①当直线l1，则l1：x??3，
当l1：x?3时，l1与准圆交于点(3，，1)(3，?1)，
l2垂直； 此时l2为y?1（或y??1），显然直线l1，l2垂直．………………………………10分 同理可证当l1：x??3时，直线l1，22l2斜率存在时，设点P(x0,y0)，其中x0?y0?4． ②当l1，y0)与椭圆相切的直线为y?t(x?x0)?y0， 设经过点P(x0，?y?t(x?x0)?y0，? 所以由?x22??y?1，?3222得(1?3t)x?6t(y0?tx0)x?3(y0?tx0)?3?0．
222由??0化简整理得(3?x0)t?2x0y0t?1?y0?0，
22222因为x0?y0?4，所以有(3?x0)t?2x0y0t?(x0?3)?0．
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