东莞理工学院（本科）试卷（ B 卷）
2016 --20 17 学年第 一 学期
《 高等数学(A)I 》试卷参考答案及评分标准
开课单位： 计算机与网络安全学院 ，系： 数学
一、填空题（共40分 每小题2分）
1．f(x)?xx?3x?22的定义域是(??,1)?(2,??)
?3?2．lim?1???e?3 .
x???x?3．lim?x?sin?? 1, lim?x?sin?? 0 .
x?x???1?x??x?0?1?x?4. lim2x2?x?23x?12x???
23．
．
5．limln(1?2x)?x?0x2x2?16．若要使f?x??2在x?1处连续，则必须补充定义
x?3x?2f(1)??2．
??aex,7．设f(x)????1?x,x?0是连续函数，则a?1 . x?0x?x08．若函数f(x)在点x0处可导，则limf(x)? f(x0)． 9．已知 f?(x0)?1, 则 limh?0f(x0?2h)?f(x0)? -2 ．
h10．曲线y?x在点(4,2)处的切线方程为x-4y?4?0 .
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2?dy?x?at11. 若?，则?
3dx??y?bt3bt2ad2y ， ?
dx2
3b4at2．
12．函数y?xex的图形的凹区间是[?2,??)． 13．e2x?1dx?2e??12x?1?C．
14．
?20sinxdx?1?cosxxdx?ln211x6．
15．
?x?3x2?611?C．
16．
??2(cosx?sin3x)dx?____2_____．
??17．广义积分
?11dx的敛散性是_发散_． x18．由曲线y?x，直线x?4及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周而成的立体的体积V?8?．
19. 微分方程e2x?ydy?dx的通解是e?2x?2ey?C（C为任意常数）。 20. 微分方程y???2y??3y?e?x的特解形式是y*?axe?x，则
1?x3x?x?x??? 微分方程y?2y?3y?e的通解为y?C1e?C2e?xe
4二、计算题（共12分 每小题6分）
1. lim1x(exx???1)．
1ex解 原式=limx???1 ????2? 1x《 高等数学（A）I 》试卷(B)参考答案及评分标准 第2页 共5页
1ex?limx??1?()?x ????2? 1()?x?1． ????2?
?limx??1ex2． limx?sinxsinxsinx3x?0.
解：limx?sinx3x?0 ?lim1?cosx2x?03xcosx3 ????2?
?lim1?cosx3x2x?0 ????2?
?limsinx1? ????2?
x?06x6三、解答题（共18分 每小题6分）
1． y?xsinx，求dy．
解： lny?sinx?lnx ????1?
y?sinx?(cosx?lnx?) ????3? yxdy?xsinx(cosx?lnx?2. 设y?f(x)是由方程e?ysinx)dx ????2? xt2?ye0dt?x?1?0所确定的隐函数, 求y?x?0.
解: 当x?0时,y?0, ????1?
原方程两边对x求导, 得 e?y??e 代入
yy2?y??1?0 ????3?
x?0,y?0, 解得 y?x?0?1 ????2? 2《 高等数学（A）I 》试卷(B)参考答案及评分标准 第3页 共5页
3. 求微分方程y???ylnx?2,xxlnx2yx?1?1的特解． 2????2?
解 y?e?1dxx(?e?lnx?xlnx(?e?x2?e?1dxxdx?C)
lnxdx?C) ????1?
1lnx11?(dx?C)?(ln2x?C)， ????2? xxx2?将初始条件代入通解，得
112?ln1?C， 22解得C?11． 故所求的特解为y?(ln2x?1). ????1? 22x四、解答题（共12分 每小题6分）
1．计算
?xarctanxdx．
解：原式??1arctanxd(x2) ????2?
2121x2 ?xarctaxn??dx 2221?x ?1211xarctanx??(1?)dx ????2? 2221?x121xarctaxn??x?arctax?n?C 22121(x?1)arctanx?x?C ????2? 22 ? ?2．
?e211dx．
x1?lnx《 高等数学（A）I 》试卷(B)参考答案及评分标准 第4页 共5页
解： 原式??e211d(1?lnx) ????2?
1?lnx?21?lnx??e21 ????2?
?2(3?1) ????2?
五、(9分) 计算抛物线y2?2x与直线y?x?4所围的图形的面积.
解：先求交点，得(2,?2)，(8,4) ????3?
y2所求面积S?(y?4?)dy ????3?
?22?411?(y2?4y?y3)?18 ????3? 26?24六、(9分) 要造一圆柱形油罐，体积为8，问底半径和高等于多少时，才能使
表面积最小？(用导数的方法) 解：设底半径和高分别为r,h，则h?8?r2，
表面积A为 A?2?rh?2?r2?16?2?r2 (r?0) ????3? r16?16?4?r3由 A???2?4?r?， ????3? 2rr解方程 A??0，即?16?4?r3?0，得驻点r?32，这是函数A在定义 2?域内的唯一驻点，由此知r?32是函数A的极小点，且是函数A的最小 2?值点. 此时高为h?2r?34. ????3? 2?《 高等数学（A）I 》试卷(B)参考答案及评分标准 第5页 共5页