第十七章 勾股定理
17．1 勾股定理 第1课时 勾股定理(1)
了解勾股定理的发现过程，理解并掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理，能应用勾股定理进行简单的计算．
重点
勾股定理的内容和证明及简单应用． 难点
勾股定理的证明．
一、创设情境，引入新课
让学生画一个直角边分别为3 cm和4 cm的直角△ABC，用刻度尺量出斜边的长． 再画一个两直角边分别为5和12的直角△ABC，用刻度尺量出斜边的长．
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你是否发现了3＋4与5的关系，5＋12与13的关系，即3＋4＝5，5＋12＝13，
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那么就有勾＋股＝弦.
对于任意的直角三角形也有这个性质吗？
由一学生朗读“毕达哥拉斯观察地面图案发现勾股定理”的传说，引导学生观察身边的地面图形，猜想毕达哥拉斯发现了什么？
拼图实验，探求新知
1．多媒体课件演示教材第22～23页图17.1－2和图17.1－3，引导学生观察思考． 2．组织学生小组合作学习．
问题：每组的三个正方形之间有什么关系？试说一说你的想法． 引导学生用拼图法初步体验结论．
生：这两组图形中，每组的大正方形的面积都等于两个小正方形的面积和． 师：这只是猜想，一个数学命题的成立，还要经过我们的证明． 归纳验证，得出定理
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(1)猜想：命题1：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a＋22b＝c.
(2)是不是所有的直角三角形都有这样的特点呢？这就需要对一个一般的直角三角形进行证明．到目前为止，对这个命题的证明已有几百种之多，下面我们就看一看我国数学家赵爽是怎样证明这个定理的．
①用多媒体课件演示． ②小组合作探究：
a．以直角三角形ABC的两条直角边a，b为边作两个正方形，你能通过剪、拼把它拼成弦图的样子吗？
b．它们的面积分别怎样表示？它们有什么关系？
c．利用学生自己准备的纸张拼一拼，摆一摆，体验古人赵爽的证法．想一想还有什么方法？
师：通过拼摆，我们证实了命题1的正确性，命题1与直角三角形的边有关，我国把它
称为勾股定理．
即在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．
二、例题讲解 【例1】填空题．
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，b＝15，则c＝________； (2)在Rt△ABC中，∠B＝90°，a＝3，b＝4，则c＝________；
(3)在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝10，a∶b＝3∶4，则a＝________，b＝________； (4)一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为________；
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(5)已知等边三角形的边长为2 cm，则它的高为________cm，面积为________cm. 【答案】(1)17 (2)7 (3)6 8 (4)6，8，10 (5)3 3 【例2】已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边．
分析：已知两边中，较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进行计算．让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想．
【答案】119或13 三、巩固练习 填空题．
在Rt△ABC中，∠C＝90°.
(1)如果a＝7，c＝25，则b＝________； (2)如果∠A＝30°，a＝4，则b＝________； (3)如果∠A＝45°，a＝3，则c＝________； (4)如果c＝10，a－b＝2，则b＝________；
(5)如果a，b，c是连续整数，则a＋b＋c＝________； (6)如果b＝8，a∶c＝3∶5，则c＝________． 【答案】(1)24 (2)43 (3)32 (4)6 (5)12 (6)10
四、课堂小结
1．本节课学到了什么数学知识？
2．你了解了勾股定理的发现和验证方法了吗？ 3．你还有什么困惑？
本节课的设计关注学生是否积极参与探索勾股定理的活动，关注学生能否在活动中积极思考、能够探索出解决问题的方法，能否进行积极的联想(数形结合)以及学生能否有条理地表达活动过程和所获得的结论等．关注学生的拼图过程，鼓励学生结合自己所拼得的正方形
验证勾股定理． 第2课时 勾股定理(2)
能将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题．
重点
将实际问题转化为直角三角形模型． 难点
如何用解直角三角形的知识和勾股定理来解决实际问题．
一、复习导入
问题1：欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需要多长的梯子？
师生行为：
学生分小组讨论，建立直角三角形的数学模型． 教师深入到小组活动中，倾听学生的想法．
生：根据题意，(如图)AC是建筑物，则AC＝12 m，BC＝5 m，AB是梯子的长度，所以
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在Rt△ABC中，AB＝AC＋BC＝12＋5＝13，则AB＝13 m.
所以至少需13 m长的梯子． 师：很好！
由勾股定理可知，已知两直角边的长分别为a，b，就可以求出斜边c的长．由勾股定
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理可得a＝c－b或b＝c－a，由此可知，已知斜边与一条直角边的长，就可以求出另一条直角边的长，也就是说，在直角三角形中，已知两边就可求出第三边的长．
问题2：一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m、宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
学生分组讨论、交流，教师深入到学生的数学活动中，引导他们发现问题，寻找解决问题的途径．
生1：从题意可以看出，木板横着进，竖着进，都不能从门框内通过，只能试试斜着能否通过．
生2：在长方形ABCD中，对角线AC是斜着能通过的最大长度，求出AC，再与木板的宽比较，就能知道木板是否能通过．
师生共析：
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解：在Rt△ABC中，根据勾股定理AC＝AB＋BC＝1＋2＝5. 因此AC＝5≈2.236.
因为AC>木板的宽，所以木板可以从门框内通过． 二、例题讲解
【例1】如图，山坡上两棵树之间的坡面距离是43米，则这两棵树之间的垂直距离是________米，水平距离是________米．
分析：由∠CAB＝30°易知垂直距离为23米，水平距离是6米． 【答案】23 6
【例2】教材第25页例2 三、巩固练习
1．如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B，C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC＝50米，∠B＝60°，则江面的宽度为________．
【答案】503米
2．某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达地点B 200米，结果他在水中实际游了520米，求该河流的宽度．
【答案】约480 m 四、课堂小结
1．谈谈自己在这节课的收获有哪些？会用勾股定理解决简单的应用题；会构造直角三角形．
2．本节是从实验问题出发，转化为直角三角形问题，并用勾股定理完成解答．
这是一节实际应用课，过程中要充分发挥学生的主导性，鼓励学生动手、动脑，经历将实际问题转化为直角三角形的数学模型的过程，激发了学生的学习兴趣，锻炼了学生独立思
考的能力． 第3课时 勾股定理(3)
1．利用勾股定理证明：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 2．利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点．
3．进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题．
重点
在数轴上寻找表示2，3，5，…这样的表示无理数的点． 难点
利用勾股定理寻找直角三角形中长度为无理数的线段．
一、复习导入
复习勾股定理的内容．
本节课探究勾股定理的综合应用．
师：在八年级上册，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．你们能用勾股定理证明这一结论吗？
学生思考并独立完成，教师巡视指导，并总结． 先画出图形，再写出已知、求证如下：
已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′.
求证：△ABC≌△A′B′C′.
证明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，根据勾股定理，得BC＝2222
AB－AC，B′C′＝A′B′－A′C′.又AB＝A′B′，AC＝A′C′，∴BC＝B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)．
师：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上表示出13所对应的点吗？
教师可指导学生寻找像长度为2，3，5，…这样的包含在直角三角形中的线段． 师：由于要在数轴上表示点到原点的距离为2，3，5，…，所以只需画出长为2，
3，5，…的线段即可，我们不妨先来画出长为2，3，5，…的线段．
生：长为2的线段是直角边都为1的直角三角形的斜边，而长为5的线段是直角边为1和2的直角三角形的斜边．
师：长为13的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边呢？
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生：设c＝13，两直角边长分别为a，b，根据勾股定理a＋b＝c，即a＋b＝13.若
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a，b为正整数，则13必须分解为两个平方数的和，即13＝4＋9，a＝4，b＝9，则a＝2，b＝3，所以长为13的线段是直角边长分别为2，3的直角三角形的斜边．
师：下面就请同学们在数轴上画出表示13的点．
生：步骤如下：
1．在数轴上找到点A，使OA＝3.
2．作直线l垂直于OA，在l上取一点B，使AB＝2.
3．以原点O为圆心、以OB为半径作弧，弧与数轴交于点C，则点C即为表示13的点． 二、例题讲解
【例1】飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4800米处，过了10秒后，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？
分析：根据题意，可以画出如图所示的图形，A点表示男孩头顶的位置，C，B点是两个时刻飞机的位置，∠C是直角，可以用勾股定理来解决这个问题．
解：根据题意，得在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5000米，AC＝4800米．由勾股定理，222222
得AB＝AC＋BC，即5000＝BC＋4800，所以BC＝1400米．
飞机飞行1400米用了10秒，那么它1小时飞行的距离为1400×6×60＝504000(米)＝504(千米)，即飞机飞行的速度为504千米/时．
【例2】在平静的湖面上，有一棵水草，它高出水面3分米，一阵风吹来，水草被吹到一边，草尖齐至水面，已知水草移动的水平距离为6分米，问这里的水深是多少？
解：根据题意，得到上图，其中D是无风时水草的最高点，BC为湖面，AB是一阵风吹
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过水草的位置，CD＝3分米，CB＝6分米，AD＝AB，BC⊥AD，所以在Rt△ACB中，AB＝AC
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＋BC，即(AC＋3)＝AC＋6，AC＋6AC＋9＝AC＋36，∴6AC＝27，AC＝4.5，所以这里的水深为4.5分米．
【例3】在数轴上作出表示17的点．
解：以17为长的边可看作两直角边分别为4和1的直角三角形的斜边，因此，在数轴上画出表示17的点，如下图：
师生行为：