分式知识点及题型
一、分式的定义：
一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子二、与分式有关的条件
①分式有意义：分母不为0（B?0） ②分式无意义：分母为0（B?0） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（?A叫做分式，A为分子，B为分母。 B?A?0）
?B?0?A?0?A?0
或?） B?0B?0???A?0?A?0
或?）
?B?0?B?0
④分式值为正或大于0：分子分母同号（?
⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（?
⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B）
⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）
三、分式的基本性质
分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示：
AA?CAA?C?，?，其中A、B、C是整式，C?0。 BB?CBB?C拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变， 即：
A?A?AA????? B?BB?B注意：在应用分式的基本性质时，要注意C?0这个限制条件和隐含条件B?0。
四、分式的约分
1．定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 2．步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。
3．注意：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。
4．最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。 ◆约分时。分子分母公因式的确定方法：
1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数. 2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.
3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式.
五、分式的通分
1．定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。 （依据：分式的基本性质！）
2．最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 ◆通分时，最简公分母的确定方法：
1．系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 2．取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.
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3．如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母. 六、分式的四则运算与分式的乘方 ① 分式的乘除法法则：
aca?c?? bdb?dacada?d分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为：????
bdbcb?c分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：
an?a?② 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子表示为：???n
b?b?③ 分式的加减法则：同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为：
naba?b?? cccacad?bc异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为：??
bdbd整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，
再通分。 ④ 分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序
先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。
注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对
有无错误或分析出错的原因。
加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。 七、整数指数幂 ① 引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的法则对对负整数指
数幂一样适用。即：
am?an?am?n amn??nn?amn ?ab??anbn am?an?am?n （a?0）
1an?a??n0???n a?na?0） a?1（a?0） （任何不等于零的数的零次幂都等于1）
ab?b?其中m，n均为整数。
八、分式方程的解的步骤：
⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程） ⑵解整式方程，得到整式方程的解。
⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：
如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。
产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。
九、列分式方程——基本步骤： ① 审—仔细审题，找出等量关系。 ② 设—合理设未知数。 ③ 列—根据等量关系列出方程（组）。 ④ 解—解出方程（组）。注意检验 ⑤ 答—答题。
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分式典型例题
一、分式
（一）从分数到分式
题型1：考查分式的定义
9a15例：下列式子中，、8a2b、-23x?ya?5a?b3a2?b2、、2x?y42、2-a1、m5xy、
6
1x1、2x2?13xy、、
?2
、
3、x?y1中分式的个数为（ ） （A） 2 （B） 3 （C） 4 (D) 5 m练习题：（1）下列式子中，是分式的有 .
2x?7x1?5a2⑴； ⑵ ?；⑶
x?523a（2）下列式子，哪些是分式？
；⑷
x2?x?2?b2
；⑸2?
b
；⑹
xy2x2?y2.
a3y3?； 2；5x?4y
；
7x8??；
1bx?xy；??.
45x?2y题型2：考查分式有，无意义，总有意义
（1）使分式有意义：令分母≠0按解方程的方法去求解； （2）使分式无意义：令分母=0按解方程的方法去求解；
注意：（x2?1≠0）
2x?11有意义； 例2：分式中，当x?____时，分式没有意义 x?52?x1x例3：当x 时，分式2有意义。 例4：当x 时，分式2有意义
x?1x?1例1：当x 时，分式例5：x，
y满足关系 时，分式
x?y无意义； x?y例6：无论x取什么数时，总是有意义的分式是（ ）
2xx3xx?5 B. C. D.
2x?1x2?1x3?1x2x例7：使分式 有意义的x的取值范围为（ ）A．x?2 B．x??2
x?2A．
例8：要是分式
C．x??2 D．x?2
x?2没有意义，则x的值为（ ） A. 2 B.-1或-3 C. -1 D.3
(x?1)(x?3)题型3：考查分式的值为零的条件
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使分式值为零：令分子=0且分母≠0，注意：当分子等于0使，看看是否使分母=0了，如果使分母=0了，那么要舍去。
1?2a例1：当x 时，分式
a?1例3：如果分式
x2?1
的值为0 例2：当x 时，分式的值为0
x?1
a?2a?2的值为为零,则a的值为( ) A.
?2 B.2 C. ?2 D.以上全不对
x2?x例4：能使分式2的值为零的所有x的值是 （ ）
x?1A
x?0 B x?1 Cx?0 或x?1 Dx?0或x??1
x2?9例5：要使分式2的值为0，则x的值为（ ）A.3或-3 B.3 C.-3 D 2
x?5x?6例6：若
a?1?0,则a是( )A.正数 B.负数 C.零 D.任意有理数 a4为正； 8?x题型4：考查分式的值为正、负的条件
【例】（1）当x为何值时，分式
（2）当x为何值时，分式（3）当x为何值时，分式
5?x3?(x?1)2为负；
x?2
为非负数. x?3
二、分式的基本性质
题型1：分式的基本性质的应用
分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。 例1：
AA?C?BB?C?C?0?AA?C?BB?Cxy6x(y?z)5(3a?1)5??成立,则a的取值范围是________； ? ； ；如果27(3a?1)7aabyy?z3(y?z)ab2例2：33?(ab例3：如果把分式
1)
a?2ba?b?b?c??a(b?c)
中的a和b都扩大10倍，那么分式的值（ ）
A、扩大10倍 B、缩小10倍 C、是原来的20倍 D、不变
例4：如果把分式
10x中的x，y都扩大10倍，则分式的值（ ） x?y1 10 A．扩大100倍 B．扩大10倍 C．不变 D．缩小到原来的
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例5：如果把分式
xy中的x和y都扩大2倍，即分式的值（ ） x?yA、扩大2倍； B、扩大4倍； C、不变； D缩小2倍 例6：若把分式
x?3y2x的x、y同时缩小12倍，则分式的值（
D．缩小6倍
）
A．扩大12倍 B．缩小12倍 C．不变
例7：若x、y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
3xA、
2y3x B、
2y23x2 C、
2y3x3 D、
2y2
?a可变形为（ ） a?baaaaA B C ? D ?
?a?ba?ba?ba?b0.2x?0.012? ； 例9：不改变分式的值，使分式的分子、分母中各项系数都为整数，
?x?0.051?x例10：不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数， ?= 。
1?x?x2例8：根据分式的基本性质，分式
题型2：分式的约分及最简分式
①约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分 ②分式约分的依据：分式的基本性质．
③分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式． ④约分的结果：最简分式（分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式）
约分主要分为两类：第一类：分子分母是单项式的，主要分数字，同字母进行约分。
第二类：分子分母是多项式的，把分子分母能因式分解的都要进行因式分解，再去找共同的因式约去。
例1：下列式子（1）
b?ab?aa?bx?y1?x?yx?y???1；（2）；（3）；（4）中正确的是??22c?aa?ca?bx?yx?y?x?yx?y（ ）A 、1个 B 、2 个 C、 3 个 D、 4 个 例2：下列约分正确的是（ ）
x6x?yx?y12xy213?0； C、2A、2?x； B、?； D、2?
x?yxx?xyx4xy2例3：下列式子正确的是( ) A
yzy?zc?dc?dc?d?c?d2x?y?a?y???0 ?0 B.??1 C.??? D.
xx?xaaaa?y2x?y例4：下列运算正确的是（ ）
aa241111a2a???? A、 B、?? C、2? D、a?ba?bxx22mmmbb例5：下列式子正确的是（ ）
bb2A．?2aa
B．
a?b?a?b0.1a?0.3ba?3b?0 C．??1 D．?
a?ba?b0.2a?b2a?b第5页/共2页